Qual o valor de
?
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um integral triplo que parece meio complicado, mas na real é sobre calcular o volume dentro de uma esfera de raio 3. A matéria aqui é Cálculo Multivariável, especificamente integrais triplas e coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas esféricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. O valor de
vai de
a
,
depende de
e vai de
a
, e
depende de
e
, indo de
a
. Isso descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem.
Passo 3
Para facilitar a integração dentro dessa esfera, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as variáveis são:
-
(raio) -
(ângulo polar) -
(ângulo azimutal)
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Agora, vamos reescrever o integrando
em coordenadas esféricas. Como
, o integrando fica simplesmente
.
Então, o integral original se transforma em:
Passo 5
Vamos calcular o integral com respeito a
:
Passo 6
Agora, integramos com respeito a
:
Passo 7
Por último, integramos com respeito a
:
Passo 8
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
A resposta correta é
, que corresponde à opção (D).