Qual o valor de integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral-raiz9-x^2-y^2^raiz9-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x ?
(a) 3 pi
(b) 9 pi
© 27 pi
(D) 81 pi
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um integral triplo que parece meio complicado, mas na real é sobre calcular o volume dentro de uma esfera de raio 3. A matéria aqui é Cálculo Multivariável, especificamente integrais triplas e coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas esféricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. O valor de vai de a , depende de e vai de a , e depende de e , indo de a . Isso descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem.

Passo 3

Para facilitar a integração dentro dessa esfera, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as variáveis são:
  • x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi (raio)
  • dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta (ângulo polar)
  • (ângulo azimutal)
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Agora, vamos reescrever o integrando integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas. Como , o integrando fica simplesmente .
Então, o integral original se transforma em:

Passo 5

Vamos calcular o integral com respeito a integral0^3 rho^3 , drho = [rho^44]0^3 = 814 :

Passo 6

Agora, integramos com respeito a integral0^pi sinphi , dphi = [-cosphi]0^pi = 2 :

Passo 7

Por último, integramos com respeito a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 8

Multiplicando todos os resultados:
814 times 2 times 2pi = 81pi

Resposta

A resposta correta é , que corresponde à opção (D).

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