Integrais duplas:
Calcule a integral dupla da função
no retângulo
.
Calcule a integral dupla da função
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre o retângulo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função integranda é
.\n - O domínio de integração é o retângulo
, isto é, varia entre e e varia entre e .\n
O que se pede: - Calcular o valor numérico da integral dupla
Passo 2
Como interpretar essa integral dupla e como escrevê-la como integral iterada.\n
A integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada (por exemplo, primeiro em depois em
). Escrevemos:
A integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada (por exemplo, primeiro em
Aqui:
-
é o elemento de área; ao escrever como iterada usamos (primeiro integramos em mantendo fixo, depois em ).\n
Justificativa prática (sem formalismo pesado): a funçãoé contínua no retângulo, então podemos fazer a integração por partes (iterada) sem problema.
Passo 3
Observação útil sobre constantes em integrais e separabilidade do integrando.\n
Na integral interna a variável de integração é
; portanto
é constante em relação a
e pode ser fatorada para fora da integral interna:
Na integral interna
Explicando a operação: quando integramos em
, tratamos
como um número fixo. Isso é a mesma ideia que quando você calcula
: o
sai da integral pois não depende de
.
Passo 4
Calcular a integral
passo a passo.\n
Fórmula que usamos: a primitiva (antiderivada) de é
para
. Aqui
, então uma primitiva de
é
.\n
Aplicando os limites de a
:
Fórmula que usamos: a primitiva (antiderivada) de
Aplicando os limites de
Portanto a integral interna vale
, e voltando ao passo anterior:
Passo 5
Agora calcular a integral externa
e obter o resultado final.\n
Usamos a primitiva de , que é
. Como há um fator constante
, colocamos fora da integral:
Usamos a primitiva de
Para conferência rápida: como
é separável, poderíamos também calcular
o que dá o mesmo resultado.