Integrais duplas:
Calcule a integral dupla da função (x, y)=x y^{2} no retângulo [0,4] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função (x,y)=x y^{2} sobre o retângulo [0,4]\times[0,3].\n
Informações dadas:
  • A função integranda é (x,y)\mapsto x y^{2}.\n
  • O domínio de integração é o retângulo [0,4]\times[0,3], isto é, x varia entre 0 e 4 e y varia entre 0 e 3.\n
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla
\iint_{[0,4]\times[0,3]} x y^{2}\,dA.

Passo 2

Como interpretar essa integral dupla e como escrevê-la como integral iterada.\n
A integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada (por exemplo, primeiro em y depois em x). Escrevemos:
\iint_{[0,4]\times[0,3]} x y^{2}\,dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{3} x y^{2}\,dy\right)dx.
Aqui:
  • dA é o elemento de área; ao escrever como iterada usamos dy\,dx (primeiro integramos em y mantendo x fixo, depois em x).\n
    Justificativa prática (sem formalismo pesado): a função x y^{2} é contínua no retângulo, então podemos fazer a integração por partes (iterada) sem problema.

Passo 3

Observação útil sobre constantes em integrais e separabilidade do integrando.\n
Na integral interna \int_{0}^{3} x y^{2}\,dy a variável de integração é y; portanto x é constante em relação a y e pode ser fatorada para fora da integral interna:
\int_{0}^{3} x y^{2}\,dy = x \int_{0}^{3} y^{2}\,dy.
Explicando a operação: quando integramos em y, tratamos x como um número fixo. Isso é a mesma ideia que quando você calcula \int_0^3 5 y^2\,dy: o 5 sai da integral pois não depende de y.

Passo 4

Calcular a integral \int_{0}^{3} y^{2}\,dy passo a passo.\n
Fórmula que usamos: a primitiva (antiderivada) de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=2, então uma primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.\n
Aplicando os limites de 0 a 3:
\int_{0}^{3} y^{2}\,dy = \left[\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3} = \dfrac{27}{3}=9.
Portanto a integral interna vale 9, e voltando ao passo anterior:
\int_{0}^{3} x y^{2}\,dy = x \cdot 9 = 9x.

Passo 5

Agora calcular a integral externa \int_{0}^{4} 9x\,dx e obter o resultado final.\n
Usamos a primitiva de x, que é \dfrac{x^{2}}{2}. Como há um fator constante 9, colocamos fora da integral:
\int_{0}^{4} 9x\,dx = 9 \int_{0}^{4} x\,dx = 9\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = 9\cdot\left(\dfrac{4^{2}}{2}-0\right) = 9\cdot\dfrac{16}{2}=9\cdot 8=72.
Para conferência rápida: como x y^{2} é separável, poderíamos também calcular
\left(\int_{0}^{4} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{3} y^{2}\,dy\right)=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}\cdot 9 = 8\cdot 9=72,
o que dá o mesmo resultado.

Resposta

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