Teorema de Green e Integrais curvilineas:
Calcule
onde
é o segmento de reta do ponto
ao ponto
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar
onde
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Informações dadas e o que precisamos:
- A integral a calcular é
. - O caminho
é o segmento de reta entre e . - Não há outras condições (orientação irrelevante para integrais escalares com
); a variável de integração será o comprimento de arco .
Passo 2
Idea geral e escolha do método (explicando a ferramenta que vamos usar de forma didática):
- Para calcular uma integral de linha do tipo
usamos uma parametrização do caminho . Se para descreve , então a fórmula é
- Explicação do que cada peça significa:
-
são as coordenadas ao longo do caminho quando o parâmetro vale . -
e são as derivadas em relação a . -
é o comprimento do vetor velocidade . Isso é exatamente a taxa de variação do comprimento de arco em relação a , por isso representa .
-
- Vamos parametrizar o segmento de reta de forma simples e aplicar essa fórmula.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta:
- Um modo direto de parametrizar o segmento que une
a é tomar variando de a e interpolar linearmente:
- Verificação rápida (para ter certeza que está certo): em
obtemos e em obtemos . Perfeito.
Passo 4
Calcular
e o elemento de arco
:
- Derivando as componentes:
- O comprimento da velocidade é constante:
- Portanto
. Intuitivamente isso faz sentido: o segmento tem comprimento (triângulo 3-4-5), e a parametrização de de a percorre esse comprimento com velocidade constante .
Passo 5
Substituir na fórmula e integrar, explicando cada passo:
- A função a integrar é
. Ao parametrizar, . Então
- Usando a fórmula da integral de linha:
- Calcule a integral simples:
- Multiplicando:
Passo 6
Interpretação alternativa e checagem (dica para prova — pensar geometricamente):
- Uma maneira rápida de ver o resultado sem toda a parametrização é notar que, ao longo do segmento, a abscissa
varia linearmente de a . A média aritmética de ao longo do segmento é . O comprimento do segmento é . Para uma função linear ao longo de um segmento, a integral é igual ao valor médio de vezes o comprimento, ou seja . Isso confirma o resultado e é uma boa verificação rápida na prova.
Resposta
10