Teorema de Green e Integrais curvilineas:
Calcule
\int C x d s onde C é o segmento de reta do ponto \mathrm{A}(0,0) ao ponto \mathrm{B}(4,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar
\int_{C} x\,ds
onde C é o segmento de reta que vai do ponto \mathrm{A}(0,0) até o ponto \mathrm{B}(4,3). Informações dadas e o que precisamos:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int_{C} x\,ds.
  • O caminho C é o segmento de reta entre \mathrm{A}(0,0) e \mathrm{B}(4,3).
  • Não há outras condições (orientação irrelevante para integrais escalares com ds); a variável de integração será o comprimento de arco ds.

Passo 2

Idea geral e escolha do método (explicando a ferramenta que vamos usar de forma didática):
  • Para calcular uma integral de linha do tipo \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,ds usamos uma parametrização do caminho C. Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t\in[a,b] descreve C, então a fórmula é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
  • Explicação do que cada peça significa:
    • x(t),y(t) são as coordenadas ao longo do caminho quando o parâmetro vale t.
    • x'(t) e y'(t) são as derivadas em relação a t.
    • \sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}} é o comprimento do vetor velocidade \mathbf{r}'(t). Isso é exatamente a taxa de variação do comprimento de arco em relação a t, por isso representa ds/dt.
  • Vamos parametrizar o segmento de reta de forma simples e aplicar essa fórmula.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta:
  • Um modo direto de parametrizar o segmento que une \mathrm{A}(0,0) a \mathrm{B}(4,3) é tomar t variando de 0 a 1 e interpolar linearmente:
\mathbf{r}(t) = \big(x(t),y(t)\big) = (4t,\,3t),\qquad 0\le t\le 1.
  • Verificação rápida (para ter certeza que está certo): em t=0 obtemos (0,0)=\mathrm{A} e em t=1 obtemos (4,3)=\mathrm{B}. Perfeito.

Passo 4

Calcular x'(t),y'(t) e o elemento de arco ds:
  • Derivando as componentes:
x'(t)=\frac{d}{dt}(4t)=4,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(3t)=3.
  • O comprimento da velocidade é constante:
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Portanto ds = \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\,dt = 5\,dt. Intuitivamente isso faz sentido: o segmento tem comprimento 5 (triângulo 3-4-5), e a parametrização de t de 0 a 1 percorre esse comprimento com velocidade constante 5.

Passo 5

Substituir na fórmula e integrar, explicando cada passo:
  • A função a integrar é f(x,y)=x. Ao parametrizar, x(t)=4t. Então
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)=4t.
  • Usando a fórmula da integral de linha:
\int_{C} x\,ds = \int_{0}^{1} 4t \cdot \big(5\big)\,dt = 20 \int_{0}^{1} t\,dt.
  • Calcule a integral simples:
\int_{0}^{1} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0 = \frac{1}{2}.
  • Multiplicando:
20\cdot \frac{1}{2}=10.

Passo 6

Interpretação alternativa e checagem (dica para prova — pensar geometricamente):
  • Uma maneira rápida de ver o resultado sem toda a parametrização é notar que, ao longo do segmento, a abscissa x varia linearmente de 0 a 4. A média aritmética de x ao longo do segmento é \frac{0+4}{2}=2. O comprimento do segmento é 5. Para uma função linear x ao longo de um segmento, a integral \int_{C} x\,ds é igual ao valor médio de x vezes o comprimento, ou seja 2\cdot 5=10. Isso confirma o resultado e é uma boa verificação rápida na prova.

Resposta

10

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