Seja uma função continua num retângulo R=[0,2] \times[1,2], calcule a integral de \iint_{R}(2 x+y) d A.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo R=[0,2]\times[1,2] da função f(x,y)=2x+y.
Informações dadas e perguntas:
  • Região de integração: R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;1\le y\le 2\}.
  • Integrando: f(x,y)=2x+y.
  • Objetivo: calcular \displaystyle \iint_{R}(2x+y)\,dA.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): para uma função contínua em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (Teorema de Fubini). Isso significa que podemos fazer a integração em uma variável de cada vez. Em fórmulas:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{2} f(x,y)\,dx\right)dy
ou trocando a ordem:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=1}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui f(x,y) é a função integrando; dx indica que estamos integrando em x mantendo y fixo; dy indica que integramos em y mantendo x fixo. A continuidade de f em R garante que essas escritas são equivalentes.

Passo 3

Escolha da ordem: é mais simples integrar primeiro em x porque 2x+y é linear em x e a antiderivada em relação a x é direta. Então escrevemos a integral como
\iint_{R}(2x+y)\,dA = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{2} (2x+y)\,dx\right)dy.
Agora calculamos a integral interna \displaystyle \int_{0}^{2} (2x+y)\,dx. Para isso usamos que a antiderivada de 2x em x é x^{2}, porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. A antiderivada de y em x (lembrando que y é constante quando integramos em x) é yx, porque \dfrac{d}{dx}(yx)=y. Então:
\int_{0}^{2} (2x+y)\,dx = \bigl[x^{2}+yx\bigr]_{x=0}^{x=2}.
Avaliaremos isso: em x=2 temos 2^{2}+y\cdot 2 = 4+2y. Em x=0 temos 0+ y\cdot 0=0. Portanto a integral interna é
\int_{0}^{2} (2x+y)\,dx = 4+2y.

Passo 4

Agora substituímos o resultado na integral externa em y:
\iint_{R}(2x+y)\,dA = \int_{y=1}^{2} (4+2y)\,dy.
Vamos calcular \displaystyle \int_{1}^{2} (4+2y)\,dy. Podemos separar:
\int_{1}^{2} (4+2y)\,dy = \int_{1}^{2} 4\,dy + 2\int_{1}^{2} y\,dy.
A antiderivada de 4 em y é 4y (pois \dfrac{d}{dy}4y=4). A antiderivada de y em y é \tfrac{1}{2}y^{2} (pois \dfrac{d}{dy}\tfrac{1}{2}y^{2}=y). Assim:
\int_{1}^{2} 4\,dy = \bigl[4y\bigr]_{1}^{2} = 4\cdot 2 - 4\cdot 1 = 8-4 = 4,
2\int_{1}^{2} y\,dy = 2\cdot \bigl[\tfrac{1}{2}y^{2}\bigr]_{1}^{2} = 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}(4)-\tfrac{1}{2}(1)\right) = 2\cdot\left(2-\tfrac{1}{2}\right) = 2\cdot \tfrac{3}{2} = 3.
Somando as duas partes obtemos 4+3=7.

Passo 5

Confirmação e comentário final: como a função é contínua, poderíamos ter integrado primeiro em y e depois em x e chegado ao mesmo resultado (Fubini). A conta que fizemos é direta e não exige calculadora: primeiro antiderivada em x, avaliar nos limites, depois antiderivada em y, avaliar nos limites. Mantém tudo certinho.

Resposta

\;7

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