Seja uma função continua num retângulo
, calcule a integral de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo
da função
.
Informações dadas e perguntas:
Informações dadas e perguntas:
- Região de integração:
. - Integrando:
. - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): para uma função contínua em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (Teorema de Fubini). Isso significa que podemos fazer a integração em uma variável de cada vez. Em fórmulas:
ou trocando a ordem:
Aqui
é a função integrando;
indica que estamos integrando em
mantendo
fixo;
indica que integramos em
mantendo
fixo. A continuidade de
em
garante que essas escritas são equivalentes.
Passo 3
Escolha da ordem: é mais simples integrar primeiro em
porque
é linear em
e a antiderivada em relação a
é direta. Então escrevemos a integral como
Agora calculamos a integral interna
. Para isso usamos que a antiderivada de
em
é
, porque
. A antiderivada de
em
(lembrando que
é constante quando integramos em
) é
, porque
. Então:
Avaliaremos isso: em
temos
. Em
temos
. Portanto a integral interna é
Passo 4
Agora substituímos o resultado na integral externa em
:
Vamos calcular
. Podemos separar:
A antiderivada de
em
é
(pois
). A antiderivada de
em
é
(pois
). Assim:
Somando as duas partes obtemos
.
Passo 5
Confirmação e comentário final: como a função é contínua, poderíamos ter integrado primeiro em
e depois em
e chegado ao mesmo resultado (Fubini). A conta que fizemos é direta e não exige calculadora: primeiro antiderivada em
, avaliar nos limites, depois antiderivada em
, avaliar nos limites. Mantém tudo certinho.