Integrais duplas num domínio qualquer
(g) Calcular integralB integral x y d x d y onde B é o conjunto de todos os (x, y) tais que 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de x y no domínio B = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= x^2. O conteúdo é integrais duplas em domínios gerais e vamos precisar escrever a integral em forma iterada e usar as regras de integração em uma variável de cada vez.

Passo 2

Para montar a integral iterada, observamos que, para cada x fixo em [0,1], y varia de 0 a x^2. Assim,
integralB x y,dx,dy = integralx=0^1 l( integraly=0^x^2 x y,dy r) dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y, tratando x como constante:
integral0^x^2 x y,dy = x integral0^x^2 y,dy = x [ y^22 ]0^x^2 = x cdot (x^2)^22 = x^52

Passo 4

Em seguida, integramos em x:
integral0^1 x^52,dx = 12 integral0^1 x^5,dx = 12 [ x^66 ]0^1 = 12 cdot 16 = 112

Passo 5

Portanto, o valor da integral dupla é tfrac112.

Resposta

\tfrac{1}{12}

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