Integrais envolvendo funções trigonométricas
I=integral sen 2 xraiz1+cos ^2 x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos calcular a integral I=integral sin 2xraiz1+cos^2x,dx. O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas e vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Usar a identidade trigonométrica sin2x=2sin xcos x para reescrever o integrando em termos de sin x e cos x. Assim temos:
I=integral 2sin xcos xraiz1+cos^2x,dx

Passo 3

Fazer a substituição u=cos x, daí du=-sin x,dx. Note que 2sin xcos x,dx=-2u,du. Então a integral vira:
I=-2integral uraiz1+u^2,du

Passo 4

Reconhecer que a derivada de raiz1+u^2 é uraiz1+u^2. Logo:
integral uraiz1+u^2,du=raiz1+u^2+C

Passo 5

Substituindo de volta u=cos x e incluindo a constante de integração, obtemos:
I=-2raiz1+cos^2x+C

Resposta

-2\sqrt{1+\cos^2x}+C

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