Integrais envolvendo funções trigonométricas
I=integral cossec^2(tg x)cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integralcsc^2(tan x)cos^2 x,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=tan x. Então temos
du = sec^2 x,dx = 1cos^2 x,dx
Logo
dxcos^2 x = du
e a integral fica
I = integral csc^2(u),du .

Passo 3

Agora basta lembrar que
integral csc^2(u),du = -cot(u) + C
então voltando a variável original temos
I = -cotl(tan xr) + C .

Resposta

-\cot\bigl(\tan x\bigr) + C

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