Um empresário estima que, se fabricar x centenas de unidades de um produto, terá um lucro de
L(x)=4000(15-x)(x-2),
em reais.
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico de L(x), localizando o ponto P(xm, L(xm)). Qual foi a curva obtida? O que o ponto P representa nessa curva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um empresário que quer saber qual a quantidade de produtos que ele deve fabricar para maximizar o lucro. A função do lucro é dada por:
L(x) = 4000(15 - x)(x - 2)
Aqui, x representa a quantidade em centenas de unidades. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender um pouco de funções quadráticas e como esboçar o gráfico delas. Vamos também identificar o ponto máximo dessa curva, que é o que o ponto P(xm, L(xm)) representa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função do lucro para facilitar o entendimento. Vamos expandir os parênteses:
L(x) = 4000(15x - 2x - 30)
Mas melhor ainda, vamos multiplicar os dois binômios:
L(x) = 4000(15 cdot x - x^2 - 30)
Na verdade, para simplificar corretamente:
L(x) = 4000(15x - x^2 - 30)
Então, distribuindo o 4000:
L(x) = 4000 cdot 15x - 4000 cdot x^2 - 4000 cdot 30
L(x) = 60,000x - 4000x^2 - 120,000
Agora, temos a função do lucro em forma padrão de uma função quadrática:
L(x) = -4000x^2 + 60,000x - 120,000

Passo 3

Sabemos que uma função quadrática tem a forma geral ax^2 + bx + c, e o gráfico dela é uma parábola. Como o coeficiente de x^2 é negativo ( a = -4000), a parábola se abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.
Para encontrar o vértice dessa parábola, que é o ponto P(xm, L(xm)), usamos a fórmula:
xm = -b2a
Aqui, a = -4000 e b = 60,000. Substituindo na fórmula:
xm = -60,0002 times (-4000) = -60,000-8000 = 7.5
Então, xm = 7.5 centenas de unidades, ou seja, 750 unidades.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de L(xm) substituindo xm na função do lucro:
L(7.5) = -4000(7.5)^2 + 60,000 times 7.5 - 120,000
Calculando passo a passo:
  1. 7.5^2 = 56.25
  2. -4000 times 56.25 = -225,000
  3. 60,000 times 7.5 = 450,000
  4. Somando tudo: -225,000 + 450,000 - 120,000 = 105,000
Então, L(7.5) = 105,000 reais.

Passo 5

Com esses valores, o ponto P fica assim:
P(7.5, 105,000)
Isso significa que quando o empresário fabrica 750 unidades do produto, ele alcança o lucro máximo de 105 mil reais.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função L(x) = -4000x^2 + 60,000x - 120,000. Sabemos que é uma parábola que se abre para baixo, com o vértice no ponto P(7.5, 105,000). Esse ponto representa o lucro máximo que o empresário pode obter fabricando 750 unidades do produto.

Resposta

O gráfico de L(x) é uma parábola que se abre para baixo. O ponto P(7.5, 105,000) está no vértice dessa curva e representa o lucro máximo de R$105.000, obtido quando são fabricadas 750 unidades do produto.

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