Um empresário estima que, se fabricar
centenas de unidades de um produto, terá um lucro de
em reais.
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico de
, localizando o ponto
. Qual foi a curva obtida? O que o ponto
representa nessa curva?
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um empresário que quer saber qual a quantidade de produtos que ele deve fabricar para maximizar o lucro. A função do lucro é dada por:
Aqui,
representa a quantidade em centenas de unidades. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender um pouco de funções quadráticas e como esboçar o gráfico delas. Vamos também identificar o ponto máximo dessa curva, que é o que o ponto
representa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função do lucro para facilitar o entendimento. Vamos expandir os parênteses:
Mas melhor ainda, vamos multiplicar os dois binômios:
Na verdade, para simplificar corretamente:
Então, distribuindo o 4000:
Agora, temos a função do lucro em forma padrão de uma função quadrática:
Passo 3
Sabemos que uma função quadrática tem a forma geral
, e o gráfico dela é uma parábola. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola se abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.
Para encontrar o vértice dessa parábola, que é o ponto
, usamos a fórmula:
Aqui,
e
. Substituindo na fórmula:
Então,
centenas de unidades, ou seja, 750 unidades.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de
substituindo
na função do lucro:
Calculando passo a passo:
-
-
-
- Somando tudo:
Então,
reais.
Passo 5
Com esses valores, o ponto
fica assim:
Isso significa que quando o empresário fabrica 750 unidades do produto, ele alcança o lucro máximo de 105 mil reais.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que é uma parábola que se abre para baixo, com o vértice no ponto
. Esse ponto representa o lucro máximo que o empresário pode obter fabricando 750 unidades do produto.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola que se abre para baixo. O ponto
está no vértice dessa curva e representa o lucro máximo de R$105.000, obtido quando são fabricadas 750 unidades do produto.