Integrais envolvendo funções trigonométricas
I=integral sen^2(x2) cos ^2(x2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integral sin^2l(tfracx2r)cos^2l(tfracx2r),dx. O conteúdo aqui é integral de função trigonométrica e vamos usar identidades algébricas para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade de produto de potências: sin^2acos^2a=tfrac14sin^2(2a). Definindo a=tfracx2, fica
sin^2l(tfracx2r)cos^2l(tfracx2r)=tfrac14sin^2(x)

Passo 3

Empregamos agora a identidade de redução de potência para seno: sin^2(x)=tfrac1-cos(2x)2. Substituindo, obtemos
sin^2l(tfracx2r)cos^2l(tfracx2r)=tfrac14cdottfrac1-cos(2x)2=tfrac1-cos(2x)8

Passo 4

Logo a integral vira
I=integraltfrac1-cos(2x)8,dx=tfrac18integral(1-cos(2x)),dx
Calculando as primitivas: integral1,dx=x e integralcos(2x),dx=tfrac12sin(2x). Assim,
I=tfrac18l(x-tfrac12sin(2x)r)+C=tfracx8-tfracsin(2x)16+C

Resposta

x8-sin(2x)16+C

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