Integrais Impróprias
Determine integral2^+infty 3x^3 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral imprópria integral2^+infty3x^3,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias, e vamos precisar usar o conceito de limite para integrais definidas em intervalos infinitos e também conhecer a antiderivada da função 3x^-3.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integral imprópria como um limite finito:
integral2^+infty3x^3,dx = limbto+infty integral2^b 3x^3,dx

Passo 3

Agora, achamos a antiderivada de 3x^-3. Usando a regra de potência, para x^n com nneq -1, temos integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C. Aqui n=-3, então:
integral 3x^-3,dx = 3cdot x^-2-2 + C = -32x^-2 + C = -32x^2 + C

Passo 4

Substituímos a antiderivada nos limites de integração e aplicamos o limite quando bto+infty:
limbto+inftyl[-tfrac32x^2r]2^b = limbto+inftyl(-tfrac32b^2r) - l(-tfrac32cdot 2^2r)

Passo 5

Observamos que limbto+infty32b^2 = 0. Então o resultado é
0 - l(-tfrac38r) = tfrac38

Resposta

38

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