Regra da Cadeia
Calcule partial fpartial u e partial fpartial v sabendo que
f(x, y)=x^2y e x(u, v)=u+v^2 e y(u, v)=-v

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis f(x,y)=x²/y e as relações x=u+v², y=−v. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar de fₓ, f_y, e das derivadas x_u, x_v, y_u, y_v.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y. Como f(x,y)=x²/y, temos
partial fpartial x=2xy,
pois derivada de x² é 2x, e y é tratado como constante; e
partial fpartial y=-x^2y^2,
usando a regra da potência em y com x² constante.

Passo 3

Depois, derivamos x(u,v) e y(u,v):
partial xpartial u=1, partial xpartial v=2v,
partial ypartial u=0, partial ypartial v=-1

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para ∂f/∂u:
partial fpartial u=fx,xu+fy,yu=2xycdot1+l(-x^2y^2r)cdot0=2xy

Passo 5

Substituímos x=u+v² e y=−v em ∂f/∂u:
partial fpartial u=2(u+v^2)-v=-2,(u+v^2)v

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para ∂f/∂v:
partial fpartial v=fx,xv+fy,yv=2xycdot2v+l(-x^2y^2r)cdot(-1)=4xvy+x^2y^2

Passo 7

Finalmente, substituímos x=u+v² e y=−v em ∂f/∂v:
partial fpartial v=4(u+v^2)v-v+(u+v^2)^2(-v)^2=-4(u+v^2)+(u+v^2)^2v^2

Resposta

partial fpartial u=-2(u+v^2)v,partial fpartial v=-4(u+v^2)+(u+v^2)^2v^2

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