Regra da Cadeia
Calcule
e
sabendo que
Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma função de duas variáveis f(x,y)=x²/y e as relações x=u+v², y=−v. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar de fₓ, f_y, e das derivadas x_u, x_v, y_u, y_v.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y. Como f(x,y)=x²/y, temos
pois derivada de x² é 2x, e y é tratado como constante; e
usando a regra da potência em y com x² constante.
Passo 3
Depois, derivamos x(u,v) e y(u,v):
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para ∂f/∂u:
Passo 5
Substituímos x=u+v² e y=−v em ∂f/∂u:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia para ∂f/∂v:
Passo 7
Finalmente, substituímos x=u+v² e y=−v em ∂f/∂v: