Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} t^{2}(\sqrt[3]{t}-\sqrt{t}) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} t^{2}\bigl(\sqrt[3]{t}-\sqrt{t}\bigr)\,dt.
Informações dadas que vamos usar:
  • \sqrt[3]{t}=t^{1/3}.
  • \sqrt{t}=t^{1/2}.
  • O intervalo de integração é de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão dentro da integral convertendo raízes em expoentes fracionários e multiplicando por t^{2}:
t^{2}\bigl(\sqrt[3]{t}-\sqrt{t}\bigr)=t^{2}\bigl(t^{1/3}-t^{1/2}\bigr)=t^{2+1/3}-t^{2+1/2}.
Calculemos os somatórios de expoentes:
2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{6}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3},\qquad 2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Logo o integrando fica
t^{7/3}-t^{5/2}.

Passo 3

Relembrando a regra de integração para potências (regra do “potência”):
\int t^{p}\,dt=\frac{t^{p+1}}{p+1}+C,\qquad p\neq -1.
Aqui p é qualquer número real diferente de -1. A ideia é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Essa fórmula vale termo a termo numa soma/diferença dentro da integral.

Passo 4

Aplicando a regra a cada termo:
\int t^{7/3}\,dt=\frac{t^{7/3+1}}{7/3+1}=\frac{t^{10/3}}{10/3}=\frac{3}{10}t^{10/3},
\int t^{5/2}\,dt=\frac{t^{5/2+1}}{5/2+1}=\frac{t^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}t^{7/2}.
Portanto uma primitiva do integrando é
F(t)=\frac{3}{10}t^{10/3}-\frac{2}{7}t^{7/2}.

Passo 5

Agora avaliaremos a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{1}\bigl(t^{7/3}-t^{5/2}\bigr)\,dt=F(1)-F(0).
Calcule F(1) e F(0). Como 1 elevado a qualquer potência vale 1 e 0 elevado a potência positiva vale 0,
F(1)=\frac{3}{10}\cdot 1-\frac{2}{7}\cdot 1=\frac{3}{10}-\frac{2}{7}, \qquad F(0)=0.
Então a integral vale
\frac{3}{10}-\frac{2}{7}.
Faça a subtração com denominador comum 70:
\frac{3}{10}-\frac{2}{7}=\frac{21}{70}-\frac{20}{70}=\frac{1}{70}.

Resposta

\dfrac{1}{70}

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