Integrais com raízes quadradas
Calcule as integrais dos exercícios 15-22.
integral-pi / 4^pi / 4 raiz1+tg^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
O que precisamos saber:
  • Vamos trabalhar com integrais que envolvem raízes quadradas.
  • Precisamos lembrar das identidades trigonométricas e de como integrar funções trigonométricas.
  • Será útil conhecer a função que resulta da integral de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Sabemos que:
1 + tan^2 x = sec^2 x
Isso vem da identidade trigonométrica fundamental. Então, substituindo na integral:
integral-pi / 4^pi / 4 raizsec^2 x , dx

Passo 3

A raiz quadrada de integral-pi / 4^pi / 4 sec x , dx é simplesmente . Mas, considerando que é positivo no intervalo a , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C . A integral de é uma função que talvez você já tenha visto:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos aplicar os limites de integração [ ln |sec x + tan x| ]-pi / 4^pi / 4 e na antiderivada que encontramos:
Isso significa que vamos calcular e subtrair .

Passo 6

Calculando cada termo:
sec (pi4) = raiz2, tan (pi4) = 1
Então:
ln (raiz2 + 1)
Para o segundo limite:
sec (-pi4) = raiz2, tan (-pi4) = -1
Então:
ln (raiz2 - 1)

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:
ln (raiz2 + 1) - ln (raiz2 - 1) = ln ( raiz2 + 1raiz2 - 1 )

Passo 8

Podemos simplificar essa fração racionalizando o denominador:
raiz2 + 1raiz2 - 1 times raiz2 + 1raiz2 + 1 = (raiz2 + 1)^22 - 1 = (raiz2 + 1)^2
Portanto:
ln ( (raiz2 + 1)^2 ) = 2 ln (raiz2 + 1)

Resposta

A integral é igual a .

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