Integrais com raízes quadradas
Calcule as integrais dos exercícios 15-22.
Calcule as integrais dos exercícios 15-22.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
O que precisamos saber:
- Vamos trabalhar com integrais que envolvem raízes quadradas.
- Precisamos lembrar das identidades trigonométricas e de como integrar funções trigonométricas.
- Será útil conhecer a função que resulta da integral de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Sabemos que:
Isso vem da identidade trigonométrica fundamental. Então, substituindo na integral:
Passo 3
A raiz quadrada de
é simplesmente
. Mas, considerando que
é positivo no intervalo
a
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, precisamos integrar
. A integral de
é uma função que talvez você já tenha visto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos aplicar os limites de integração
e
na antiderivada que encontramos:
Isso significa que vamos calcular
e subtrair
.
Passo 6
Calculando cada termo:
Então:
Para o segundo limite:
Então:
Passo 7
Subtraindo os dois resultados:
Passo 8
Podemos simplificar essa fração racionalizando o denominador:
Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
.