5.3 Encontre e classifique os pontos críticos de f(x, y)=x^33- x-y^33+y. Faça um gráfico onde todos os pontos críticos apareçam.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos de f(x,y)=x^33-x-y^33+y. O conteúdo envolve derivadas parciais, sistema de equações para pontos críticos e teste do Hessiano para classificação.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Temos as derivadas em bloco:
fx(x,y)=partialpartial xl(tfracx^33-x-tfracy^33+yr)=x^2-1
fy(x,y)=partialpartial yl(tfracx^33-x-tfracy^33+yr)=-y^2+1

Passo 3

Resolver o sistema fx=0 e fy=0. Isso dá:
x^2-1=0
-y^2+1=0
Logo x=pm1 e y=pm1. Assim os pontos críticos são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).

Passo 4

Montar o Hessiano e calcular as derivadas de segunda ordem. As derivadas são:
fxx(x,y)=partialpartial x(x^2-1)=2x
fyy(x,y)=partialpartial y(-y^2+1)=-2y
fxy(x,y)=0
O teste do Hessiano usa o determinante:
D(x,y)=fxx(x,y),fyy(x,y)-(fxy(x,y))^2

Passo 5

Classificar cada ponto crítico:
Para (1,1):
fxx(1,1)=2, fyy(1,1)=-2, D(1,1)=2times(-2)=-4<0
Logo ponto de sela.
Para (1,-1):
fxx(1,-1)=2, fyy(1,-1)=2, D(1,-1)=2times2=4>0
Como fxx(1,-1)=2>0, é mínimo local.
Para (-1,1):
fxx(-1,1)=-2, fyy(-1,1)=-2, D(-1,1)=(-2)times(-2)=4>0
Como fxx(-1,1)=-2<0, é máximo local.
Para (-1,-1):
fxx(-1,-1)=-2, fyy(-1,-1)=2, D(-1,-1)=(-2)times2=-4<0
Logo ponto de sela.

Passo 6

Fazer um esboço no plano xy, marcando os quatro pontos críticos e seus tipos. Um gráfico ASCII simples é:
y

2 |
1 | (-1,1) (1,1)
0 ±-------------→ x
-1 | (-1,-1) (1,-1)
|
Em que (1,1) e (-1,-1) são pontos de sela; (1,-1) é mínimo local; (-1,1) é máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são: (1,1) ponto de sela; (1,-1) mínimo local; (-1,1) máximo local; (-1,-1) ponto de sela.

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