5.3 Encontre e classifique os pontos críticos de
. Faça um gráfico onde todos os pontos críticos apareçam.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos de
. O conteúdo envolve derivadas parciais, sistema de equações para pontos críticos e teste do Hessiano para classificação.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Temos as derivadas em bloco:
Passo 3
Resolver o sistema
e
. Isso dá:
Logo
e
. Assim os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 4
Montar o Hessiano e calcular as derivadas de segunda ordem. As derivadas são:
O teste do Hessiano usa o determinante:
Passo 5
Classificar cada ponto crítico:
Para :
Para
Logo ponto de sela.
Para :
Para
Como
, é mínimo local.
Para :
Para
Como
, é máximo local.
Para :
Para
Logo ponto de sela.
Passo 6
Fazer um esboço no plano
, marcando os quatro pontos críticos e seus tipos. Um gráfico ASCII simples é:
y
↑
2 |
1 | (-1,1) (1,1)
0 ±-------------→ x
-1 | (-1,-1) (1,-1)
|
Em que (1,1) e (-1,-1) são pontos de sela; (1,-1) é mínimo local; (-1,1) é máximo local.
y
↑
2 |
1 | (-1,1) (1,1)
0 ±-------------→ x
-1 | (-1,-1) (1,-1)
|
Em que (1,1) e (-1,-1) são pontos de sela; (1,-1) é mínimo local; (-1,1) é máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são:
ponto de sela;
mínimo local;
máximo local;
ponto de sela.