Integrais de Superficie Calcule a integral de superficie.
integralegral duplaS y z d S, S é a parte do plano z=y+3 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1. Resp.
pi raiz24.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de função escalar sobre a parte do plano ,z=y+3 que está dentro do cilindro ,x^2+y^2=1. Em linguagem matemática, queremos
integral duplaS y,z,dS
com S dado por z=g(x,y)=y+3 e (x,y) variando no disco D:x^2+y^2<=1. Vamos usar a fórmula de integral de superfície para gráfico z=g(x,y).

Passo 2

Para S visto como gráfico z=g(x,y), a área elementar é
dS=raiz1+gx^2+gy^2;dA
Aqui gx=0 e gy=1, logo

Passo 3

dS=raiz1+0^2+1^2;dA=raiz2;dA

Passo 4

Substituindo z=y+3 na função e dS na integral, obtemos
integral duplaSy,z,dS =integral duplaDy,(y+3),raiz2;dA =raiz2,integral duplaD(y^2+3y);dA
Note que integral duplaDy,dA=0 por simetria do disco, então sobra calcular integral duplaDy^2dA.

Passo 5

Usando coordenadas polares ,x=rcostheta, ,y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, temos
integral duplaDy^2,dA =integral0^2pi!integral0^1(rsintheta)^2,r,dr,dtheta =integral0^2pisin^2theta,dtheta;integral0^1r^3,dr
Como integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi e integral0^1r^3dr=tfrac14, segue
integral duplaDy^2,dA=picdottfrac14=tfracpi4

Passo 6

Portanto
integral duplaSy,z,dS =raiz2,l(tfracpi4+3cdot0r) =tfracpiraiz24

Resposta

piraiz24

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