Superfícies Paramétricas e suas Áreas
Determine a área da superficie
A parte do parabolóide eliptico
que está entre os planos
e
.
Resp.
.
Determine a área da superficie
A parte do parabolóide eliptico
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide elíptico
que fica entre os planos
(ápice) e
.
Como o paraboloide pode ser visto como gráfico da função
Como o paraboloide pode ser visto como gráfico da função
vamos usar a fórmula de área de gráfico
onde
é a projeção no plano
dada por
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo o integrando fica
e a área é
Passo 3
Para simplificar a região elíptica usamos a troca
em que a condição
vira
, um disco de raio 2, e
Além disso
ficando
Passo 4
Passamos a coordenadas polares em
:
com Jacobiano
. Assim
Note que
.
Passo 5
O integral em
leva a uma integral elíptica do segundo tipo, mas fechamos em forma elementar e depois avaliamos numericamente. O resultado final é