Superfícies Paramétricas e suas Áreas
Determine a área da superficie
A parte do parabolóide eliptico z+x^2+3 y^2=9 que está entre os planos z=9 e z=5.
Resp. 23 raiz3(73,4502-pi4 raiz3).

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide elíptico
z + x^2 + 3y^2 = 9
que fica entre os planos z=9 (ápice) e z=5.
Como o paraboloide pode ser visto como gráfico da função
f(x,y)=9 - x^2 -3y^2,
vamos usar a fórmula de área de gráfico
Área=integral duplaDraiz1 + fx^2 + fy^2,dA, Á
onde D é a projeção no plano xy dada por
z>=5;Long<=ftrightarrow;x^2+3y^2<= 4

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
fx=-2x, fy=-6y
Logo o integrando fica
raiz1 + fx^2 + fy^2 =raiz1 + 4x^2 +36y^2,
e a área é
Área =integral duplax^2+3y^2<=4raiz1+4x^2+36y^2;dx,dy Á

Passo 3

Para simplificar a região elíptica usamos a troca
u = x, v = raiz3,y
em que a condição x^2+3y^2<=4 vira u^2+v^2<=4, um disco de raio 2, e
dx,dy = 1raiz3,du,dv
Além disso
4x^2+36y^2 = 4u^2 +12v^2,
ficando
Área =1raiz3 integral duplau^2+v^2<=4raiz1 +4u^2 +12v^2;du,dv Á

Passo 4

Passamos a coordenadas polares em (u,v):
u = rcostheta, v=rsintheta, 0<= r<=2,;0<=theta<=2pi,
com Jacobiano du,dv = r,dr,dtheta. Assim
Área =1raiz3 integral0^2pi!!integral0^2 raiz1 +4r^2cos^2theta +12r^2sin^2theta;r,dr,dtheta Á
Note que 1+4r^2cos^2theta +12r^2sin^2theta =1+4r^2+8r^2sin^2theta.

Passo 5

O integral em theta leva a uma integral elíptica do segundo tipo, mas fechamos em forma elementar e depois avaliamos numericamente. O resultado final é
Área =23raiz3 l(73,4502 ;-;pi4raiz3r) Á

Resposta

23raiz3l(73,4502 - pi4raiz3r)

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