Integrais de Superficie Calcule a integral de superficie.
integralegral duplaS z^2 d S, S é a superficie com equações paramétricas x(u, v)=Sen(u-v), y(u, v)=Cos(u-v) e
z(u, v)=Sen(u) Cos(v), 0 <= u <= pi / 4 e 0 <= v <= pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaS z^2,dS
onde S é dada por
x(u,v)=sin(u-v), y(u,v)=cos(u-v), z(u,v)=sin ucos v,
com 0<= u<=pi/4, 0<= v<=pi/4.
Conteúdo: integral de superfície via parametrização, precisaremos de rutimes rv e do módulo para obter dS.

Passo 2

Calculemos
ru=(cos(u-v),,-sin(u-v),,cos ucos v), rv=(-cos(u-v),,sin(u-v),,-sin usin v)
O produto vetorial dá
rutimes rv =l(-sin(u-v)cos(u+v),,-cos(u-v)cos(u+v),,0r),
de onde
l| rutimes rvr| =l|cos(u+v)r| =cos(u+v),
pois 0<= u+v<=pi/2.

Passo 3

Logo
dS=cos(u+v),du,dv, z^2=sin^2ucos^2v,
e a integral vira
integral dupla[0,pi/4]^2sin^2ucos^2v;cos(u+v),dv,du

Passo 4

Expanda cos(u+v)=cos ucos v-sin usin v e separe em
integral0^pi/4!!integral0^pi/4 l[sin^2ucos^2v(cos ucos v) -sin^2ucos^2v(sin usin v)r]dv,du
Isto leva a
integral0^pi/4l[ sin^2ucos u!!integral0^pi/4cos^3v,dv -sin^3u!!integral0^pi/4cos^2vsin v,dv r]du
Calcule
integral0^pi/4cos^3v,dv=5raiz212, integral0^pi/4cos^2vsin v,dv=4-raiz212

Passo 5

Fica
integral0^pi/4l[5raiz212sin^2ucos u -4-raiz212sin^3ur]du =112integral0^pi/4l[5raiz2,sin^2ucos u -(4-raiz2)sin^3ur]du
Use s=sin u em cada termo:
integral0^pi/4sin^2ucos u,du=raiz212, integral0^pi/4sin^3u,du=8-5raiz212

Passo 6

Substituindo e simplificando obtemos
112l[5raiz2cdotraiz212-(4-raiz2)cdot8-5raiz212r] =-8+7raiz236

Resposta

integral duplaSz^2,dS=7raiz2-836

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