Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m}(p x) \cos ^{n}(q x) d x
\sin p x \cos q x=\frac{1}{2} \sin (p+q) x+\frac{1}{2} \sin (p-q) x
\sin p x \sin q x=-\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
\cos p x \cos q x=\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
2. \int_{0}^{\pi} \cos 99 x \sin 101 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi}\cos(99x)\,\sin(101x)\,dx
usando identidades de produto em soma. Vamos aplicar a fórmula
\sin(p x)\cos(q x)=\frac{1}{2}\sin\bigl((p+q)x\bigr)+\frac{1}{2}\sin\bigl((p-q)x\bigr).

Passo 2

Reescrevendo o integrando com p=101 e q=99, temos
\cos(99x)\,\sin(101x) =\sin(101x)\cos(99x) =\frac{1}{2}\sin\bigl((101+99)x\bigr) +\frac{1}{2}\sin\bigl((101-99)x\bigr).
Isto é,
\cos(99x)\,\sin(101x) =\frac{1}{2}\sin(200x)+\frac{1}{2}\sin(2x).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\pi}\cos(99x)\,\sin(101x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(200x)\,dx +\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2x)\,dx.
Sabendo que
\int\sin(ax)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax),
temos um primitivo
F(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{200}\cos(200x) -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cos(2x) =-\frac{1}{400}\cos(200x)-\frac{1}{4}\cos(2x).

Passo 4

Agora avaliamos F de 0 a \pi:
F(\pi)=-\frac{1}{400}\cos(200\pi)-\frac{1}{4}\cos(2\pi) =-\frac{1}{400}\cdot1-\frac{1}{4}\cdot1 =-\frac{1}{400}-\frac{1}{4} =-\frac{101}{400},
F(0)=-\frac{1}{400}\cos(0)-\frac{1}{4}\cos(0) =-\frac{1}{400}-\frac{1}{4} =-\frac{101}{400}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
\int_{0}^{\pi}\cos(99x)\,\sin(101x)\,dx =F(\pi)-F(0) =-\frac{101}{400}-\bigl(-\tfrac{101}{400}\bigr) =0.

Resposta

0

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