Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m}(p x) \cos ^{n}(q x) d x
\sin p x \cos q x=\frac{1}{2} \sin (p+q) x+\frac{1}{2} \sin (p-q) x
\sin p x \sin q x=-\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
\cos p x \cos q x=\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
  1. \int \cos 3 x \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos 3x \,\cos 5x \,dx
usando integrais trigonométricas. O conteúdo necessário é a identidade produto-soma para produto de cossenos:
\cos p x \,\cos q x = \tfrac12\cos\bigl((p+q)x\bigr)+\tfrac12\cos\bigl((p-q)x\bigr).

Passo 2

Aplicando a identidade com p=3 e q=5, obtemos
\cos 3x\,\cos 5x =\tfrac12\,\cos(8x)+\tfrac12\,\cos(-2x) =\tfrac12\,\cos(8x)+\tfrac12\,\cos(2x).

Passo 3

Substituímos na integral e integramos termo a termo:
\int \cos 3x\,\cos 5x\,dx =\tfrac12\int \cos(8x)\,dx+\tfrac12\int \cos(2x)\,dx.
Sabendo que \int \cos(kx)\,dx = \tfrac{1}{k}\sin(kx), temos
\tfrac12\int \cos(8x)\,dx =\tfrac12\cdot \tfrac1{8}\sin(8x) =\tfrac1{16}\sin(8x),
\tfrac12\int \cos(2x)\,dx =\tfrac12\cdot \tfrac1{2}\sin(2x) =\tfrac1{4}\sin(2x).
Logo,
\int \cos 3x\,\cos 5x\,dx =\tfrac1{16}\sin(8x)+\tfrac1{4}\sin(2x)+K.

Resposta

\int \cos 3x\,\cos 5x\,dx =\tfrac1{16}\sin(8x)+\tfrac1{4}\sin(2x)+C.

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