Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x, m e n par
\cos ^{2} x =\frac{1}{2}(1+\cos 2 x)
\sin ^{2} x =\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)
5. Explique usando áreas que
\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x=\int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x d x
Èstas integrais cuando somados dão \int_{0}^{\pi} 1 d x, então ambos são iguais a …

Passo 1

O enunciado pede provar que \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx
usando argumentos de áreas. O conteúdo principal envolve a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e a simetria (translação) das funções \sin^{2}x e \cos^{2}x.

Passo 2

Pela identidade \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, somamos as duas integrais:
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx \;+\;\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx =\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^{2}x+\cos^{2}x\bigr)\,dx =\int_{0}^{\pi}1\,dx =\pi.

Passo 3

Observamos que
\cos^{2}x=\sin^{2}\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr),
e que \sin^{2}x tem período \pi. Assim, ao deslocar o gráfico de \sin^{2}x horizontalmente em \pi/2, obtemos exatamente o gráfico de \cos^{2}x. Como a área sob uma função periódica num intervalo de comprimento igual ao período é invariante sob translação, segue
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx =\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx.

Resposta

Cada integral vale \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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