Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m}(p x) \cos ^{n}(q x) d x
\sin p x \cos q x=\frac{1}{2} \sin (p+q) x+\frac{1}{2} \sin (p-q) x
\sin p x \sin q x=-\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
\cos p x \cos q x=\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
3. \int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^{2}(3x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade de redução de potência para \cos^2\theta.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.
Tomando \theta = 3x, obtemos
\cos^{2}(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^{2}(3x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos(6x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(6x)\,dx.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = x\Big|_{-\pi}^{\pi} = 2\pi,
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(6x)\,dx = \frac{\sin(6x)}{6}\Big|_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(6\pi) - \sin(-6\pi)}{6} = 0.

Passo 5

Juntando os resultados, vem
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^{2}(3x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot 2\pi + \frac{1}{2}\cdot 0 = \pi.

Resposta

\pi

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