Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m}(p x) \cos ^{n}(q x) d x
\sin p x \cos q x=\frac{1}{2} \sin (p+q) x+\frac{1}{2} \sin (p-q) x
\sin p x \sin q x=-\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
\cos p x \cos q x=\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
5. \int_{0}^{2 \pi} \sin x \sin 2 x \sin 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2\pi}\sin x\,\sin2x\,\sin3x\;dx.
O conteúdo envolvido são integrais trigonométricas usando identidades de produto-para-soma.

Passo 2

Primeiro aplicamos
\sin p x\,\sin q x=-\tfrac12\cos\bigl((p+q)x\bigr)+\tfrac12\cos\bigl((p-q)x\bigr)
com p=1 e q=2. Assim
\sin x\,\sin2x =-\tfrac12\cos3x+\tfrac12\cos(-x) =-\tfrac12\cos3x+\tfrac12\cos x.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int_{0}^{2\pi}\sin x\,\sin2x\,\sin3x\;dx =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\tfrac12\cos3x+\tfrac12\cos x\Bigr)\sin3x\;dx.
Agora usamos
\cos3x\,\sin3x=\tfrac12\sin6x, \qquad \cos x\,\sin3x=\tfrac12\bigl(\sin4x+\sin2x\bigr),
logo o integrando torna-se
-\tfrac12\cdot\tfrac12\sin6x \;+\;\tfrac12\cdot\tfrac12\bigl(\sin4x+\sin2x\bigr) =-\tfrac14\sin6x+\tfrac14\sin4x+\tfrac14\sin2x.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a 2\pi. Como
\int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\,dx=0 \quad\text{para todo inteiro }k\neq0,
cada um dos três termos tem integral zero.

Resposta

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