Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m}(p x) \cos ^{n}(q x) d x
\sin p x \cos q x=\frac{1}{2} \sin (p+q) x+\frac{1}{2} \sin (p-q) x
\sin p x \sin q x=-\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
\cos p x \cos q x=\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
6. Mostre que \int_{0}^{\pi} \sin p x \sin q x d x é sempre zero.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin p x\,\sin q x\,dx = 0
quando p\neq q. Vamos usar a identidade de produto-para-soma
\sin p x\,\sin q x = -\tfrac12\cos\bigl((p+q)x\bigr) + \tfrac12\cos\bigl((p-q)x\bigr)
e as propriedades de integração de \cos(kx).

Passo 2

Substituindo a identidade na integral, temos
\int_{0}^{\pi}\sin p x\,\sin q x\,dx = \int_{0}^{\pi}\Bigl(-\tfrac12\cos\bigl((p+q)x\bigr) + \tfrac12\cos\bigl((p-q)x\bigr)\Bigr)\,dx.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
-\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos\bigl((p+q)x\bigr)\,dx \;+\;\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos\bigl((p-q)x\bigr)\,dx.

Passo 4

Usamos \displaystyle \int\cos(kx)\,dx = \tfrac1k\sin(kx). Portanto,
\int_{0}^{\pi}\cos\bigl((p+q)x\bigr)\,dx = \frac{\sin\bigl((p+q)\pi\bigr)-\sin(0)}{p+q} = 0,
\int_{0}^{\pi}\cos\bigl((p-q)x\bigr)\,dx = \frac{\sin\bigl((p-q)\pi\bigr)-\sin(0)}{p-q} = 0,
pois \sin(m\pi)=0 para todo inteiro m\neq0.

Resposta

0

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