Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m}(p x) \cos ^{n}(q x) d x
\sin p x \cos q x=\frac{1}{2} \sin (p+q) x+\frac{1}{2} \sin (p-q) x
\sin p x \sin q x=-\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
\cos p x \cos q x=\frac{1}{2} \cos (p+q) x+\frac{1}{2} \cos (p-q) x
7. \int_{\pi}^{3 \pi} \cos p x \sin q x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{3\pi}\cos(p x)\,\sin(q x)\,dx
usando identidades produto-soma de funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(p x)\,\sin(q x) =\tfrac12\bigl[\sin((q+p)x)+\sin((q-p)x)\bigr].

Passo 3

Logo a integral indefinida é
\int\cos(p x)\,\sin(q x)\,dx =\tfrac12\int\sin((q+p)x)\,dx +\tfrac12\int\sin((q-p)x)\,dx
=\tfrac12\Bigl[-\tfrac{\cos((q+p)x)}{q+p}-\tfrac{\cos((q-p)x)}{q-p}\Bigr]+C.

Passo 4

Portanto,
\int_{\pi}^{3\pi}\cos(p x)\,\sin(q x)\,dx =-\tfrac12\Bigl[\tfrac{\cos((q+p)x)}{q+p}+\tfrac{\cos((q-p)x)}{q-p}\Bigr]_{\!x=\pi}^{\,x=3\pi}.

Passo 5

Calculando a diferença entre os limites,
\int_{\pi}^{3\pi}\cos(p x)\,\sin(q x)\,dx =-\tfrac12\Bigl[ \tfrac{\cos((q+p)3\pi)-\cos((q+p)\pi)}{q+p} +\tfrac{\cos((q-p)3\pi)-\cos((q-p)\pi)}{q-p} \Bigr].
Usando a identidade
\cos(3\alpha\pi)-\cos(\alpha\pi) =-2\,\sin(2\alpha\pi)\,\sin(\alpha\pi),
com \alpha=q\pm p, obtemos
\int_{\pi}^{3\pi}\cos(p x)\,\sin(q x)\,dx =\frac{\sin\bigl(2(q+p)\pi\bigr)\,\sin\bigl((q+p)\pi\bigr)}{q+p} +\frac{\sin\bigl(2(q-p)\pi\bigr)\,\sin\bigl((q-p)\pi\bigr)}{q-p}.

Resposta

\boxed{ \int_{\pi}^{3\pi}\cos(p x)\,\sin(q x)\,dx =\frac{\sin\bigl(2(q+p)\pi\bigr)\,\sin\bigl((q+p)\pi\bigr)}{q+p} +\frac{\sin\bigl(2(q-p)\pi\bigr)\,\sin\bigl((q-p)\pi\bigr)}{q-p}. }
Em particular, se p e q são inteiros, todas as funções \sin(k\pi) valem zero, e a integral fica zero.

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