INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Determine o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2 e superiormente pela esfera de raio 3 usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da esfera de raio 3 e acima do cone dado por z=raizx^2+y^2. O conteúdo é cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas, onde vamos usar a definição do volume elementar e converter as superfícies para condições em (rho,varphi,theta).

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi,
e o elemento de volume é
dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

Agora convertemos as duas superfícies:
  1. A esfera de raio 3 vira rho=3.
  2. O cone z=raizx^2+y^2 vira rhocosvarphi = rhosinvarphi Longrightarrow cosvarphi = sinvarphi Longrightarrow varphi = pi4
Como queremos o sólido acima do cone, temos varphi de 0 até pi/4. E theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Montamos a integral de volume:
V = integraltheta=0^2pi integralvarphi=0^pi/4 integralrho=0^3 rho^2sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em rho:
integral0^3rho^2,drho = 3^33 = 9
Em seguida em varphi:
integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi = l[-cosvarphir]0^pi/4 = 1 - raiz22
E por fim em theta, que dá um fator 2pi.

Passo 6

Juntando tudo:
V = 2pi times 9 times l(1 - raiz22r) = 18pil(1 - raiz22r)

Resposta

V = 18pil(1 - raiz22r)

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