INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Determine o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone
superiormente pela esfera de raio 3 usando coordenadas esféricas.
Determine o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da esfera de raio
e acima do cone dado por
. O conteúdo é cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas, onde vamos usar a definição do volume elementar e converter as superfícies para condições em
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
e o elemento de volume é
Passo 3
Agora convertemos as duas superfícies:
- A esfera de raio
vira . - O cone
vira
Como queremos o sólido acima do cone, temos
de
até
. E
varia de
a
.
Passo 4
Montamos a integral de volume:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Em seguida em
:
E por fim em
, que dá um fator
.
Passo 6
Juntando tudo: