INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Calcule integral triplaV raizx^2+y^2+z^2 d V onde V é a sua coroa esférica limitada pela esfera de raio 1 e esfera de raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaV raizx^2+y^2+z^2;dV
onde V é a coroa esférica centrada na origem, limitada pelas esferas de raio 1 e 2.
O conteúdo aqui é integrais triplas em coordenadas esféricas, e vamos precisar usar a transformação
x = rsinvarphicostheta, y = rsinvarphisintheta, z = rcosvarphi,
com Jacobiano dV = r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Na coordenada esférica o integrando fica simplesmente o raio
raizx^2+y^2+z^2 = r,
logo a integral se transforma em
integraltheta=0^2pi!integralvarphi=0^pi!integralr=1^2 r ;l(r^2sinvarphir),dr,dvarphi,dtheta ;=; integral0^2pi!integral0^pi!integral1^2 r^3sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

Os limites são
1 <= r <= 2, 0 <= varphi <= pi, 0 <= theta <= 2pi
Como o integrando separa em produto de funções de r, varphi e theta, podemos escrever
l(integral0^2pi!dthetar), l(integral0^pi!sinvarphi,dvarphir), l(integral1^2!r^3,drr)

Passo 4

Calculando cada parte:
integral0^2pi!dtheta = 2pi, integral0^pi!sinvarphi,dvarphi = 2, integral1^2!r^3,dr = r^44|1^2 = 16 - 14 = 154
Multiplicando tudo, obtemos
2pi times 2 times 154 = 15pi

Resposta

15pi

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