Reselva as equaçõs diferenciais ordinárias:
x^2 y^prime+5 x y+3 x^5=0 , x neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
x^2 y' + 5 x y + 3 x^5 = 0, xneq 0
Vamos identificar que ela pode ser escrita na forma padrão y' + P(x),y = Q(x) e resolver usando o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por x^2 (já que xneq0):
y' + 5x,y = -3x^3
Aqui temos P(x)=tfrac5x e Q(x)=-3x^3.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral5x,dxr) =expl(5ln|x|r)=|x|^5
Para absorver o sinal em constante e simplificar, adotamos mu(x)=x^5.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x^5 obtemos
x^5y' + 5x^4y = -3x^8
O lado esquerdo é exatamente ddxl(x^5yr), logo
ddxl(x^5yr) = -3x^8

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^5y = integral -3x^8,dx = -3x^99 + C = -x^93 + C
Finalmente, isolamos y:
y = -x^93x^5 + Cx^-5 = -x^43 + C,x^-5

Resposta

y = -x^43 + C,x^-5

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