As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas cilíndricas da função f(r,θ,z)=r²cos²θ+z² sobre a região definida por 0≤θ≤2π, 0≤r≤√2 e 0≤z≤1. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas e vamos precisar usar as fórmulas básicas de integrais de potências e a integral de cos²θ.
Passo 2
Primeiro, integramos em θ mantendo r e z fixos. Temos que calcular
que se separa em
Usando
e
, obtemos
Passo 3
Em seguida, integramos em r de 0 até √2:
Calculando cada termo:
Logo
Passo 4
Por fim, integramos em z de 0 até 1:
Assim,