As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
integral0^1 integral0^raiz2 integral0^2 pi(r^2 cos ^2 theta+z^2) r d theta d r d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas cilíndricas da função f(r,θ,z)=r²cos²θ+z² sobre a região definida por 0≤θ≤2π, 0≤r≤√2 e 0≤z≤1. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas e vamos precisar usar as fórmulas básicas de integrais de potências e a integral de cos²θ.

Passo 2

Primeiro, integramos em θ mantendo r e z fixos. Temos que calcular
Iθ=integral0^2pil(r^2cos^2theta+z^2r),r,dtheta
que se separa em
Iθ=r^3integral0^2picos^2theta,dtheta;+ ;z^2rintegral0^2pidtheta
Usando integral0^2picos^2theta,dtheta=pi e integral0^2pidtheta=2pi, obtemos
Iθ=pi r^3+2pi z^2r .

Passo 3

Em seguida, integramos em r de 0 até √2:
Ir=integral0^raiz2l(pi r^3+2pi z^2rr)dr =piintegral0^raiz2r^3dr+2pi z^2integral0^raiz2r,dr
Calculando cada termo:
integral0^raiz2r^3dr=(raiz2)^44=1, integral0^raiz2r,dr=(raiz2)^22=1
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Ir=picdot1+2pi z^2cdot1=pi+2pi z^2 .

Passo 4

Por fim, integramos em z de 0 até 1:
I=integral0^1(pi+2pi z^2)dz =piintegral0^11,dz+2piintegral0^1z^2dz
integral0^11,dz=1, integral0^1z^2dz=13
Assim,
I=picdot1+2picdot13=pi+2pi3=5pi3

Resposta

5pi3

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