Considre a função abaixo
f:[k, pi-162] & longrightarrow[m, 2] x & longmapsto-4 cos (x+8)+2
que é bijetiva e possui inversa g. Sendo k o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa g da f, podemos dizer que:
Observação: g=f^-1
k=0, m=1, g(y)=arccos (-y / 4)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o valor de k, m e a função inversa g=f^-1 de f:l[k,tfracpi-162r]to [m,2], f(x)=-4cos(x+8)+2. Conteúdo: monotonicidade de funções e inversão de cos.

Passo 2

Determinamos onde f é estritamente monotônica calculando f'(x)=4sin(x+8). Para garantir f'(x)>0 em todo o intervalo, precisamos de sin(x+8)>=0, ou seja x+8in[0,pi]. Como o extremo superior do domínio é (pi-16)/2 e (pi-16)/2+8=pi/2in(0,pi), ajustamos o extremo inferior com k+8=0, obtendo k=-8.

Passo 3

Com k=-8 e (pi-16)/2=-8+pi/2, a função é crescente em [-8,-8+pi/2]. Calculamos os valores de f nos extremos: f(-8)=-4cos0+2=-2 e f(-8+pi/2)=-4cos(pi/2)+2=2. Portanto o menor valor da imagem é m=-2.

Passo 4

Para achar g, escrevemos y=-4cos(x+8)+2 e isolamos cos(x+8)=(2-y)/4. Aplicando arccos, temos:

Resposta

k=-8, m=-2, g(y)=arccosl(tfrac2-y4-8)

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