1. integral 12 x^4+20 x^3+33 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 12 x^4 + 20 x^3 + 33 x + 5,dx. É um problema de integração de função racional e vamos usar divisão de polinômios para simplificar o integrando antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, dividimos o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Dividindo 12 x^4 + 20 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 3 por 3 x + 5, encontramos quociente 4x^3 e resto 3. Assim,
12 x^4 + 20 x^3 + 33 x + 5 = 4x^3 + 33x+5

Passo 3

Com o integrando simplificado, separamos a integral em duas:
integral(4x^3 + 33x+5),dx = integral 4x^3,dx + integral 33x+5,dx

Passo 4

Para a primeira parte, usamos a regra da potência: integral 4x^3,dx = x^4. Para a segunda, fazemos substituição u = 3x+5, daí du = 3,dx, e portanto
integral 33x+5,dx = integral 1u,du = ln|u|
Voltando a x, isso dá ln|3x+5|.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
$$
x^{4} + \ln\lvert3x+5\rvert + C.$$

Resposta

x^4 + lnlvert3x+5rvert + C

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