Passo 1
O enunciado pede para calcular
. É um problema de integração de função racional e vamos usar divisão de polinômios para simplificar o integrando antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, dividimos o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Dividindo
por
, encontramos quociente
e resto
. Assim,
Passo 3
Com o integrando simplificado, separamos a integral em duas:
Passo 4
Para a primeira parte, usamos a regra da potência:
. Para a segunda, fazemos substituição
, daí
, e portanto
Voltando a
Passo 5
Somando os resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos
$$
x^{4} + \ln\lvert3x+5\rvert + C.$$