a) integral 18 tg^2(x) sec ^2(x)2+tg^3(x) d x
i) u=tg(x), seguida por v=u^3 e depois por w=2+v
ii) u=tg^3(x), seguida por v=2+u
iii) u=2+tg^3(x)
b) integral (2 r-1) cos (raiz3(2 r-1)^2+6)raiz3(2 r-1)^2+6 d r
c) integral sen raizthetaraiztheta cos ^3 raiztheta d theta

Passo 1

Temos três integrais que envolvem mudança de variável (substituição): a) integral 18tan^2 xsec^2 x2+tan^3 x,dx, b) integral (2r-1)cosl(raiz3(2r-1)^2+6r)raiz3(2r-1)^2+6,dr e c) integral sinraizthetaraiztheta,cos^3raiztheta,dtheta. Todas se resolvem com a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Para a) fazemos a cadeia de substituições sugerida em i): u=tan x (logo du=sec^2 x,dx), depois v=u^3 e finalmente w=2+v. Substituindo direto com u=tan x já temos
integral 18tan^2 xsec^2 x2+tan^3 x,dx = integral 18u^22+u^3,du
Agora note que se definirmos v=u^3 então dv=3u^2,du ou u^2,du=tfracdv3. Logo
integral 18u^22+u^3,du = 18integral 12+v cdot dv3 = 6integral dvv+2 = 6ln|v+2| + C = 6lnl|2+tan^3 xr| + C

Passo 3

Para b) a substituição direta mais prática é u=raiz3(2r-1)^2+6. Calculamos
du = 12raiz3(2r-1)^2+6 cdot 6(2r-1),dr = 6(2r-1)raiz3(2r-1)^2+6,dr

Passo 4

Logo
(2r-1)raiz3(2r-1)^2+6,dr = du6, e a integral vira
integral (2r-1)cosl(raiz3(2r-1)^2+6r)raiz3(2r-1)^2+6,dr = 16integral cos(u),du = 16sin(u) + C = 16sinl(raiz3(2r-1)^2+6r) + C

Passo 5

Para c) começamos por u=raiztheta, o que dá dtheta=2u,du. Então
sinraizthetaraizthetacos^3raiztheta,dtheta = sin(u)u,cos^3/2(u)cdot 2u,du = 2sin(u)cos^-3/2(u),du
Agora fazemos v=cos(u), logo dv=-sin(u),du. A integral fica
2integral sin(u)cos^-3/2(u),du = -2integral v^-3/2,dv = -2cdot v^-1/2-tfrac12 + C = 4v^-1/2 + C = 4raizcos(u) + C

Passo 6

Voltando para u=raiztheta temos
integral sinraizthetaraizthetacos^3raiztheta,dtheta = 4raizcosl(raizthetar) + C

Resposta

a) 6lnl|2+tan^3(x)r|+C b) tfrac16sinl(raiz3(2r-1)^2+6r)+C c) 4raizcosl(raizthetar)+C

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