a)
i) , seguida por e depois por
ii) , seguida por
iii)
b)
c)
Passo 1
Temos três integrais que envolvem mudança de variável (substituição): a) , b) e c) . Todas se resolvem com a técnica de substituição adequada.
Passo 2
Para a) fazemos a cadeia de substituições sugerida em i): (logo ), depois e finalmente . Substituindo direto com já temos
Agora note que se definirmos então ou . Logo
Passo 3
Para b) a substituição direta mais prática é u=raiz3(2r-1)^2+6. Calculamos
du = 12raiz3(2r-1)^2+6 cdot 6(2r-1),dr = 6(2r-1)raiz3(2r-1)^2+6,dr
Passo 4
Logo
(2r-1)raiz3(2r-1)^2+6,dr = du6, e a integral vira
integral (2r-1)cosl(raiz3(2r-1)^2+6r)raiz3(2r-1)^2+6,dr = 16integral cos(u),du = 16sin(u) + C = 16sinl(raiz3(2r-1)^2+6r) + C
Passo 5
Para c) começamos por u=raiztheta, o que dá dtheta=2u,du. Então
sinraizthetaraizthetacos^3raiztheta,dtheta = sin(u)u,cos^3/2(u)cdot 2u,du = 2sin(u)cos^-3/2(u),du
Agora fazemos v=cos(u), logo dv=-sin(u),du. A integral fica 2integral sin(u)cos^-3/2(u),du = -2integral v^-3/2,dv = -2cdot v^-1/2-tfrac12 + C = 4v^-1/2 + C = 4raizcos(u) + C
Passo 6
Voltando para u=raiztheta temos
integral sinraizthetaraizthetacos^3raiztheta,dtheta = 4raizcosl(raizthetar) + C
Resposta
a) 6lnl|2+tan^3(x)r|+C b) tfrac16sinl(raiz3(2r-1)^2+6r)+C c) 4raizcosl(raizthetar)+C