Resolva as seguintes equações diferenciais usando substituições:
x^2 y^prime+3 x y=e^x

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear:
Temos
x^2y' + 3xy = e^x
Conteúdo: equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar colocar na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Para começar, dividimos todos os termos por x^2 (supondo xneq0) para obter a forma padrão:
y' + 3x,y = e^xx^2

Passo 3

Agora identificamos P(x)=3/x. O fator integrante mu(x) é dado por e^integral P(x),dx. Então:
mu(x) = e^integral 3x,dx = e^3ln|x| = x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x)=x^3:
x^3y' + 3x^2y = x^3cdote^xx^2 = x e^x
O lado esquerdo agora é exatamente a derivada do produto x^3y, pois
ddx(x^3y) = x^3y' + 3x^2y

Passo 5

Portanto podemos escrever
ddx(x^3y) = x e^x
Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^3y),dx = integral x e^x,dx
No lado direito usamos integração por partes (ou tabela) para achar
integral x e^x,dx = (x-1)e^x + C

Passo 6

Agora voltamos a y:
x^3y = (x-1)e^x + C
Logo
y = (x-1)e^xx^3 + Cx^3

Resposta

y = (x-1)e^xx^3 + Cx^-3

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