Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^prime=3 x+4 y
y^prime=-x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDs lineares de coeficientes constantes: x′=3x+4y e y′=−x+2y. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores para sistemas, e vamos precisar colocar o sistema em forma matricial, achar os autovalores, os autovetores e montar a solução geral real.

Passo 2

Escrevemos na forma matricial x'=Ax, onde
A=3 &4-1&2,x=xy

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det3-lambda &4-1&2-lambda=(3-lambda)(2-lambda)+4=lambda^2-5lambda+10=0

Passo 4

As raízes são complexas conjugadas:
lambda=52pm iraiz152

Passo 5

Para lambda=52+iraiz152, resolvemos (A-lambda I)v=0. Uma escolha conveniente de autovetor é
v=8-1+iraiz15=p+i q,
onde
p=8-1, q=0raiz15

Passo 6

Como os autovalores são alphapm ibeta com alpha=5/2 e beta=raiz15/2, a teoria diz que a solução geral real é combinação linear das soluções
e^alpha t(pcosbeta t - qsinbeta t)e e^alpha t(psinbeta t + qcosbeta t)

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=e^tfrac52tl[C1l(pcos(tfracraiz152t)-qsin(tfracraiz152t)r)+C2l(psin(tfracraiz152t)+qcos(tfracraiz152t)r)r],
onde
p=8-1, q=0raiz15, C1,C2inR

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