Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de EDs lineares de coeficientes constantes: x′=3x+4y e y′=−x+2y. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores para sistemas, e vamos precisar colocar o sistema em forma matricial, achar os autovalores, os autovetores e montar a solução geral real.
Passo 2
Escrevemos na forma matricial
, onde
Passo 3
Calculamos o polinômio característico:
Passo 4
As raízes são complexas conjugadas:
Passo 5
Para
, resolvemos
. Uma escolha conveniente de autovetor é
onde
Passo 6
Como os autovalores são
com
e
, a teoria diz que a solução geral real é combinação linear das soluções
Resposta
A solução geral do sistema é
onde