Calcule fx y z z se f(x, y, z)=sen(3 x+y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial mista da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, precisamos entender como calcular derivadas parciais sucessivas de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
f(x, y, z) = sin(3x + yz)
Queremos encontrar , que significa que vamos derivar primeiro em relação a , depois em relação a , e depois duas vezes em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a fx = partial fpartial x = cos(3x + yz) cdot 3 :
Usamos a regra da cadeia aqui: a derivada de em relação a é , e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 4

Agora, vamos derivar fx y = partial fxpartial y = partialpartial y [3 cos(3x + yz)] em relação a fx y = 3 cdot (-sin(3x + yz)) cdot z = -3z sin(3x + yz) :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Em seguida, derivamos fx y z = partial fx ypartial z = partialpartial z [-3z sin(3x + yz)] em relação a fx y z = -3 sin(3x + yz) + (-3z) cos(3x + yz) cdot y pela primeira vez:
fx y z = -3 sin(3x + yz) - 3y z cos(3x + yz)
Usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, vamos derivar fx y z z = partial fx y zpartial z = partialpartial z [-3 sin(3x + yz) - 3y z cos(3x + yz)] em relação a -3 cos(3x + yz) cdot y novamente para obter -3y cos(3x + yz) + (-3y z)(- sin(3x + yz)) cdot y :
-3y cos(3x + yz) + 3y^2 z sin(3x + yz)
Derivando termo a termo:
  1. Para :
  1. Para :
    Usamos a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

Juntando tudo, a derivada parcial mista fx y z z = -3y cos(3x + yz) + 3y^2 z sin(3x + yz) - 3y cos(3x + yz) da função fx y z z = -6y cos(3x + yz) + 3y^2 z sin(3x + yz) é:
Ou, simplificando os termos semelhantes:

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