Verifique se a função z=f(x, y) é contínua no ponto P indicado.
z=exp (-x y) log (7+x^2-2 y), P(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função z = f(x,y) = exp(-xy),log(7 + x^2 - 2y) no ponto P(0,0). O conteúdo principal é continuidade de funções de duas variáveis e uso do teorema da composição de funções contínuas.

Passo 2

Vamos analisar o domínio de f. A parte exp(-xy) está definida para todo (x,y). Já log(7 + x^2 - 2y) exige 7 + x^2 - 2y > 0. Em P(0,0) temos 7 + 0 - 0 = 7 > 0. Como x^2 - 2y é contínuo, existe um entorno de P onde 7 + x^2 - 2y>0, logo f está bem definida nesse entorno.

Passo 3

Sabemos que exp(t) e log(t) são contínuas em seus domínios. Como -xy e 7 + x^2 - 2y são funções polinomiais (e portanto contínuas), a composição exp(-xy) e log(7 + x^2 - 2y) também é contínua em qualquer ponto onde esteja definida.

Passo 4

Para confirmar, calculamos o limite de f em (0,0):
lim(x,y)to(0,0) exp(-xy) = exp(0) = 1
lim(x,y)to(0,0) log(7 + x^2 - 2y) = logl(lim(x,y)to(0,0) (7 + x^2 - 2y)r) = log(7)
lim(x,y)to(0,0) f(x,y) = 1 cdot log(7) = log(7)

Passo 5

Como f(0,0)=exp(0),log(7)=log(7) e o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) coincide com f(0,0), concluímos que f é contínua no ponto P(0,0).

Resposta

A função f(x,y)=exp(-xy),log(7 + x^2 - 2y) é contínua no ponto P(0,0).

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