Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve uma fração com $ x^2 $ no numerador e a raiz quadrada de $ 1 - x^2 $ no denominador. O conteúdo que vamos usar para resolver isso inclui integração por substituição e o entendimento de integrais impróprias. Vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais fácil de integrar e depois verificar se a integral definida de 0 a 1 converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral indefinida:
Para facilitar a integração, podemos separar $ x^2 $ em termos que envolvem $ 1 - (1 - x^2) $:
Então, substituindo na integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ é $ \arcsin(x) + C $.
Segunda integral:
Para essa integral, usamos a fórmula padrão:
Passo 4
Substituindo as integrais de volta na expressão original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos passar para a integral definida de 0 a 1:
Usaremos a antiderivada que encontramos:
Passo 6
Calculando os limites:
Para $ x = 1 $:
- $ \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $
- $ \sqrt{1 - 1^2} = 0 $
Então:
Para $ x = 0 $:
- $ \arcsin(0) = 0 $
- $ \sqrt{1 - 0^2} = 1 $
Então:
Resposta
A integral imprópria $ \int_{0}^{1} \frac{x{2}}{\sqrt{1-x{2}}} dx $ converge e seu valor é $ \frac{\pi}{4} $.