integral x^2raiz1-x^2 d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^1 x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve uma fração com $ x^2 $ no numerador e a raiz quadrada de $ 1 - x^2 $ no denominador. O conteúdo que vamos usar para resolver isso inclui integração por substituição e o entendimento de integrais impróprias. Vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais fácil de integrar e depois verificar se a integral definida de 0 a 1 converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral indefinida:
integral x^2raiz1-x^2 dx
Para facilitar a integração, podemos separar $ x^2 $ em termos que envolvem $ 1 - (1 - x^2) $:
x^2
Então, substituindo na integral:
1 - (1 - x^2)

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral 1raiz1-x^2 dx
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ é $ \arcsin(x) + C $.
Segunda integral:
1raiz1 - x^2
Para essa integral, usamos a fórmula padrão:
arcsin(x) + C

Passo 4

Substituindo as integrais de volta na expressão original:
arcsin(x) - ( x2 raiz1 - x^2 + 12 arcsin(x) ) + C
Simplificando:
arcsin(x) - x2 raiz1 - x^2 - 12 arcsin(x) + C = 12 arcsin(x) - x2 raiz1 - x^2 + C

Passo 5

Agora, vamos passar para a integral definida de 0 a 1:
integral0^1 x^2raiz1-x^2 dx
Usaremos a antiderivada que encontramos:
[ 12 arcsin(x) - x2 raiz1 - x^2 ]0^1

Passo 6

Calculando os limites:
Para $ x = 1 $:
  • $ \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $
  • $ \sqrt{1 - 1^2} = 0 $
    Então:
x = 1
Para $ x = 0 $:
  • $ \arcsin(0) = 0 $
  • $ \sqrt{1 - 0^2} = 1 $
    Então:
arcsin(1) = pi2

Resposta

A integral imprópria $ \int_{0}^{1} \frac{x{2}}{\sqrt{1-x{2}}} dx $ converge e seu valor é $ \frac{\pi}{4} $.

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