Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço esteja sendo medida por T(x, y, z)=x e^-x y z e que um pernilongo que esteja localizado no ponto ( 1,1,0 ).
Qual a direção e sentido que o pernilongo deveria voar para que a temperatura sentida por ele esfrie o máximo possível?

Passo 1

Temos a função temperatura dada por T(x,y,z)=x e^-xyz e o mosquito está no ponto (1,1,0). Como queremos esfriar o máximo possível, buscamos a direção em que T decresce mais rapidamente, o que sempre corresponde ao vetor negativo do gradiente de T.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de T(x,y,z)=x e^-xyz:
partial Tpartial x = e^-xyz(1 - xyz)
partial Tpartial y = -x^2 z,e^-xyz
partial Tpartial z = -x^2 y,e^-xyz

Passo 3

Avaliando essas derivadas no ponto (1,1,0), temos e^-1cdot1cdot0=1 e portanto
nabla T(1,1,0) = (1,0,-1)

Passo 4

A direção de máxima diminuição é o vetor negativo do gradiente, isto é (-1,0,1). Para obter o vetor unitário, calculamos a norma desse vetor, raiz(-1)^2+1^2=raiz2, e dividimos:
-nabla T(1,1,0)raiz2 = l(-tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)

Resposta

O vetor unitário que indica a direção de voo para esfriar mais rapidamente é l(-tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r).

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