O valor a in R a fim de que
integral-1^1(a x^2+4 x-1) d x=2
é dado por:
a) qualquer a in R que satisfaça a x^2+4 x-3= 0 ;
b) a=2;
c) qualquer a in R;
d) a=0;
e) a=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de $ a \in \mathbb{R} $ que faz com que a integral de $ a x^{2} + 4x - 1 $ de -1 a 1 seja igual a 2. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais definidas e álgebra básica para resolver para $ a $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral definida. A integral de uma função $ f(x) $ de $ a $ a $ b $ dá a área sob a curva entre esses pontos. Aqui, nossa função é $ f(x) = a x^{2} + 4x - 1 $, e queremos que a integral de -1 a 1 seja igual a 2.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de -1 a 1:
f(x)
Integrando termo a termo:
integral-1^1 (a x^2 + 4x - 1) , dx

Passo 4

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral-1^1 a x^2 , dx = a [ x^33 ]-1^1 = a ( 13 - (-13) ) = a ( 23 ) = 2a3
  2. integral-1^1 4x , dx = 4 [ x^22 ]-1^1 = 4 ( 12 - 12 ) = 4(0) = 0
  3. integral-1^1 1 , dx = [ x ]-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, somando os resultados das integrais:
2a3 + 0 - 2 = 2

Passo 6

Simplificando a equação:
2a3 - 2 = 2
Adicionamos 2 em ambos os lados:
2a3 = 4

Passo 7

Para encontrar $ a $, multiplicamos ambos os lados por $ \frac{3}{2} $:
a

Resposta

A resposta correta é a letra e) $ a = 6 $.

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