Sejam
e
Podemos afirmar que:
а)
;
b)
;
c)
;
d)
;
е)
.
а)
b)
c)
d)
е)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função $ F(s) $ definida como o limite para $ N $ tendendo ao infinito da integral de $ e^{-st} $ de 0 até $ N $. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais e limites. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e como calcular limites de funções quando a variável vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral $ \int_{0}^{N} e^{-st} , dt $. Sabemos que a integral de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = -s $.
Então,
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 3
Agora, aplicando os limites de 0 a $ N $:
Simplificando:
Passo 4
Agora precisamos calcular o limite dessa expressão quando $ N $ tende ao infinito:
Sabemos que $ e^{-sN} $ tende a 0 quando $ N $ vai para o infinito, porque $ s > 0 $. Portanto:
Substituindo na expressão:
Resposta
A alternativa correta é a b) $ F(s) = \frac{1}{s} $.