Sejam s>0 e
F(s)=lim N +infty integral0^N e^-s t d t
Podemos afirmar que:
а) F(s)=0;
b) F(s)=1s;
c) F(s)=2s^3;
d) F(s)=1;
е) F(s)=e^-s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função $ F(s) $ definida como o limite para $ N $ tendendo ao infinito da integral de $ e^{-st} $ de 0 até $ N $. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais e limites. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e como calcular limites de funções quando a variável vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral $ \int_{0}^{N} e^{-st} , dt $. Sabemos que a integral de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = -s $.
Então,
integral0^N e^-st , dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 3

Agora, aplicando os limites de 0 a $ N $:
N
Simplificando:
integral0^N e^-st , dt = [ 1-s e^-st ]0^N = 1-s e^-sN - 1-s e^0
= -1s e^-sN + 1s

Passo 4

Agora precisamos calcular o limite dessa expressão quando $ N $ tende ao infinito:
N
Sabemos que $ e^{-sN} $ tende a 0 quando $ N $ vai para o infinito, porque $ s > 0 $. Portanto:
F(s) = limN to +infty 1s (1 - e^-sN)
Substituindo na expressão:
e^-sN

Resposta

A alternativa correta é a b) $ F(s) = \frac{1}{s} $.

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