Passo 1
O exercício pede para calcular
. O conteúdo principal é integração por partes, e vamos precisar usar que
. A ideia é escolher funções
e
adequadamente.
Passo 2
Escolhemos
e
. Assim temos
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes
, obtemos:
Passo 4
Para resolver
, fazemos a substituição trigonométrica
Então o integrando vira
e a integral passa a ser
.
Passo 5
Agora calculamos
por partes: definimos
,
, daí
e
. Logo
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
,
e
. Então
Somando com o termo inicial, concluímos o resultado.
Passo 7
Juntando tudo, a integral fica
Resposta
x(\operatorname{arcsen} x)^2+2\operatorname{arcsen} x\sqrt{1-x^2}-2x+C