integral(arcsen x)^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral (arcsen x)^2,dx. O conteúdo principal é integração por partes, e vamos precisar usar que ddx(arcsen x)=1raiz1-x^2. A ideia é escolher funções u e dv adequadamente.

Passo 2

Escolhemos u=(arcsen x)^2 e dv=dx. Assim temos
du=2,arcsen xcdot1raiz1-x^2,dx, v=x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv=u v-integral v,du, obtemos:
integral(arcsen x)^2,dx=x(arcsen x)^2-2integralx,arcsen xraiz1-x^2,dx

Passo 4

Para resolver integralx,arcsen xraiz1-x^2,dx, fazemos a substituição trigonométrica
t=arcsen x, x=sin t, dx=cos t,dt
Então o integrando vira
x,arcsen xraiz1-x^2,dx=sin tcdot tcos t,cos t,dt=tsin t,dt,
e a integral passa a ser -2integral tsin t,dt.

Passo 5

Agora calculamos integral tsin t,dt por partes: definimos u1=t, dv1=sin t,dt, daí du1=dt e v1=-cos t. Logo
integral tsin t,dt=-tcos t+integralcos t,dt=-tcos t+sin t

Passo 6

Voltando às variáveis originais: t=arcsen x, cos t=raiz1-x^2 e sin t=x. Então
-2integral tsin t,dt=-2l(-arcsen xraiz1-x^2+xr)=2arcsen xraiz1-x^2-2x
Somando com o termo inicial, concluímos o resultado.

Passo 7

Juntando tudo, a integral fica
integral(arcsen x)^2,dx=x(arcsen x)^2+2arcsen xraiz1-x^2-2x+C

Resposta

x(\operatorname{arcsen} x)^2+2\operatorname{arcsen} x\sqrt{1-x^2}-2x+C

Exercícios relacionados