Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei de resfriamento de Newton. Se o café estava a uma temperatura de 93 C^circ ao ser colocada na xícara e, um minuto depois, esfriou para 88 C^circ em uma sala a 21 C^circ, determine quando o café atinge a temperatura de 50 C^circ.

Passo 1

O problema dá a lei de resfriamento de Newton numa sala a 21 °C com T(0)=93 °C e T(1)=88 °C e pede o tempo t em que T(t)=50 °C. Vamos usar a equação diferencial de Newton e a solução exponencial para resolver.

Passo 2

A lei de resfriamento de Newton é dada por dT/dt = -k (T - T<sub>s</sub>), cuja solução geral é
T(t) = Ts + (T0 - Ts) e^-k t
onde T<sub>s</sub>=21 °C, T_0=93 °C e k>0 é a constante de decaimento.

Passo 3

Para achar k usamos o dado T(1)=88 °C:
$$
88 = 21 + (93 - 21)e^{-k} 88 = 21 + (93 - 21)e^-k
e^{-k} = \frac{88 - 21}{72} = \frac{67}{72},
e^-k = 88 - 2172 = 6772, á
k = -\ln\bigl(\tfrac{67}{72}\bigr) = \ln\bigl(\tfrac{72}{67}\bigr).
$$

Passo 4

Agora queremos t tal que T(t)=50 °C. Substituindo na solução geral:
50 = 21 + 72 e^-k t
Logo
e^-k t = 50 - 2172 = 2972,
-k t = lnl(tfrac2972r)
t = -1k lnl(tfrac2972r) = lnl(72/29r)lnl(72/67r)

Passo 5

Bastou calcular numericamente:
t approx ln(2.4828)ln(1.0746) approx 0.90950.0720 approx 12,6 minutos

Resposta

Aproximadamente 12,6 minutos após o café ter sido colocado na xícara.

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