Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei de resfriamento de Newton. Se o café estava a uma temperatura de
ao ser colocada na xícara e, um minuto depois, esfriou para
em uma sala a
, determine quando o café atinge a temperatura de
.
Passo 1
O problema dá a lei de resfriamento de Newton numa sala a 21 °C com T(0)=93 °C e T(1)=88 °C e pede o tempo t em que T(t)=50 °C. Vamos usar a equação diferencial de Newton e a solução exponencial para resolver.
Passo 2
A lei de resfriamento de Newton é dada por dT/dt = -k (T - T<sub>s</sub>), cuja solução geral é
onde T<sub>s</sub>=21 °C, T_0=93 °C e k>0 é a constante de decaimento.
Passo 3
Para achar k usamos o dado T(1)=88 °C:
$$
88 = 21 + (93 - 21)e^{-k}
e^{-k} = \frac{88 - 21}{72} = \frac{67}{72},
k = -\ln\bigl(\tfrac{67}{72}\bigr) = \ln\bigl(\tfrac{72}{67}\bigr).
$$
Passo 4
Agora queremos t tal que T(t)=50 °C. Substituindo na solução geral:
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Passo 5
Bastou calcular numericamente:
Resposta
Aproximadamente 12,6 minutos após o café ter sido colocado na xícara.