integral arcsin ^2(x)raiz1-x^2 d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^1 arcsin ^2(x)raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx
e em seguida avaliar a integral imprópria
integral0^1 arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx. O conteúdo envolve substituição trigonométrica e avaliação de limite para a parte imprópria.

Passo 2

Para lidar com a raiz no denominador e o arcsin(x), fazemos a substituição
t = arcsin(x).
Então temos
x = sin(t),
dx = cos(t),dt e
raiz1-x^2 = raiz1-sin^2(t) = cos(t)
(no intervalo de definição de arcsin).

Passo 3

Substituindo tudo na integral indefinida, obtemos
integral arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx = integral t^2cos(t)cdotcos(t),dt = integral t^2,dt
que transformou a integral complicada num polinômio em t.

Passo 4

A integral de t^2 é dada pela regra de potência:
integral t^2,dt = t^33 + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que t = arcsin(x), a primitiva fica
(arcsin(x))^33 + C

Passo 6

Para a integral imprópria definimos
I = integral0^1 arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx = limbto1^- integral0^b arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx
Usando a primitiva, temos
integral0^b arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx = (arcsin(x))^33|0^b = (arcsin(b))^33 - 0

Passo 7

Como bto1^-, arcsin(b)totfracpi2. Logo
I = limbto1^- (arcsin(b))^33 = l(tfracpi2r)^33 = pi^324
Esse limite é finito, então a integral imprópria converge.

Resposta

A integral indefinida é
integral arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx = (arcsin(x))^33 + C
A integral imprópria converge e seu valor é
integral0^1 arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx = pi^324

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