Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
e em seguida avaliar a integral imprópria . O conteúdo envolve substituição trigonométrica e avaliação de limite para a parte imprópria.
Passo 2
Para lidar com a raiz no denominador e o , fazemos a substituição .
Então temos , e
(no intervalo de definição de ).
Passo 3
Substituindo tudo na integral indefinida, obtemos
que transformou a integral complicada num polinômio em .
Passo 4
A integral de é dada pela regra de potência:
Passo 5
Voltando à variável , lembrando que , a primitiva fica
Passo 6
Para a integral imprópria definimos
Usando a primitiva, temos
Passo 7
Como bto1^-, arcsin(b)totfracpi2. Logo
I = limbto1^- (arcsin(b))^33 = l(tfracpi2r)^33 = pi^324
Esse limite é finito, então a integral imprópria converge.
Resposta
A integral indefinida é
integral arcsin^2(x)raiz1-x^2,dx = (arcsin(x))^33 + C