Questão 1. (2,5 pontos) Nos itens a seguir, assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as afirmações falsas.
Existe x in[0,1] tal que cos (pi2 x)=x.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe xin[0,1] tal que cosl(tfracpi2xr)=x. O conteúdo necessário é o Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então zera nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função f:[0,1]toR por f(x)=cosl(tfracpi2xr)-x. Como composição e soma de funções contínuas, f é contínua em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores em 0 e 1:
f(0)=cos(0)-0=1>0,
f(1)=cosl(tfracpi2r)-1=0-1=-1<0

Passo 4

Como f(0) e f(1) têm sinais opostos e f é contínua, pelo Teorema de Bolzano existe cin(0,1) tal que f(c)=0, ou seja cos(tfracpi2c)=c.

Resposta

V

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