A integral
pode ser resolvida usando primeiro uma integração por partes, depois frações parciais e por fim, é necessário usar uma substituição simples. Resolva essa integral. Além disso, mostre que a integral
é convergente e vale
.
Passo 1
Nós temos a integral
. O conteúdo é técnica de integração: integração por partes, depois frações parciais e por fim uma substituição simples. Também vamos mostrar que
converge e calcular seu valor.
Passo 2
Aplicamos integração por partes em
. Escolhemos
e
. Então
Logo:
Passo 3
Para resolver
, fazemos frações parciais. Escrevemos
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, obtemos
,
,
. Então
Passo 4
Integrando cada termo separadamente:
e para
usamos a substituição
,
, o que leva a
Passo 5
Juntando tudo, a primitiva geral é
Passo 6
Para a integral imprópria
, avaliamos
Como
e
, temos
. Subtraindo
obtemos
.
Portanto a integral converge e vale .
Portanto a integral converge e vale
Resposta
A primitiva geral é
e a integral imprópria converge, valendo