A integral integral arctg(x)x^2 d x pode ser resolvida usando primeiro uma integração por partes, depois frações parciais e por fim, é necessário usar uma substituição simples. Resolva essa integral. Além disso, mostre que a integral integral1^infty arctg(x)x^2 d x é convergente e vale pi4+12 ln 2.

Passo 1

Nós temos a integral integral arctan(x)x^2,dx. O conteúdo é técnica de integração: integração por partes, depois frações parciais e por fim uma substituição simples. Também vamos mostrar que integral1^infty arctan(x)x^2,dx converge e calcular seu valor.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em integral arctan(x)x^2,dx. Escolhemos u=arctan(x) e dv=x^-2,dx. Então
du=dx1+x^2, v=-1x
Logo:
integral arctan(x)x^2,dx = -arctan(x)x + integral 1x(1+x^2),dx

Passo 3

Para resolver integral 1x(1+x^2),dx, fazemos frações parciais. Escrevemos
1x(1+x^2) = Ax + Bx+C1+x^2
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, obtemos A=1, B=0, C=-1. Então
1x(1+x^2) = 1x - x1+x^2

Passo 4

Integrando cada termo separadamente:
integral 1x,dx = ln|x|,
e para
integral x1+x^2,dx
usamos a substituição t=1+x^2, dt=2x,dx, o que leva a
integral x1+x^2,dx = 12integral dtt = 12ln(1+x^2)

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva geral é
F(x) = -arctan(x)x + ln|x| - 12ln(1+x^2) + C

Passo 6

Para a integral imprópria integral1^infty arctan(x)x^2,dx, avaliamos
limRtoinftyl[F(R)-F(1)r]
Como arctan(R)/Rto0 e ln R - tfrac12ln(1+R^2)to0, temos F(R)to C. Subtraindo
F(1) = -pi4 + 0 - 12ln2 + C
obtemos
tfracpi4 + tfrac12ln2.
Portanto a integral converge e vale .

Resposta

A primitiva geral é
F(x) = -arctan(x)x + ln|x| - tfrac12ln(1+x^2) + C,
e a integral imprópria converge, valendo
integral1^infty arctan(x)x^2,dx = pi4 + tfrac12ln2

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