Nos itens a seguir, decida qual técnica usar e depois calcule a integral.
integral d x(1-x^2)^32 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral dx(1 - x^2)^3/2. Trata-se de uma integral com expressão quadrática no denominador elevada a 3/2, então a técnica mais adequada é a substituição trigonométrica.

Passo 2

Vamos usar a substituição x = sin theta. Assim, temos:
dx = cos theta,dtheta
1 - x^2 = 1 - sin^2 theta = cos^2 theta
Logo,
(1 - x^2)^3/2 = (cos^2 theta)^3/2 = cos^3 theta
Substituindo na integral,
$$
\int \frac{dx}{(1 - x2){3/2}} = \int \frac{\cos \theta,d\theta}{\cos^3 \theta} = \int \sec^2 \theta,d\theta.
$$

Passo 3

Sabemos da derivada de funções trigonométricas que
ddtheta(tan theta) = sec^2 theta
Portanto,
integral sec^2 theta,dtheta = tan theta + C

Passo 4

Fazendo a volta para a variável x: de x = sin theta segue sin theta = x e cos theta = raiz1 - x^2. Assim,
tan theta = sin thetacos theta = xraiz1 - x^2

Resposta

xraiz1 - x^2 + C

Exercícios relacionados