Nos itens a seguir, decida qual técnica usar e depois calcule a integral.
integral sen^5(x) cos ^4(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma potência de sen e cosseno: integral sin^5 x,cos^4 x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando identidades de potência e substituição. Vamos usar a identidade pitagórica sin^2 x + cos^2 x = 1 e mudança de variável.

Passo 2

Reescrevemos sin^5 x,cos^4 x separando um fator sin x,dx para a substituição e transformando sin^4 x em termos de cos x:
sin^5 x,cos^4 x ,dx = (sin^4 x)(cos^4 x)sin x,dx = l(1-cos^2 xr)^2,cos^4 x,sin x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u=cos x, de modo que du=-sin x,dx ou sin x,dx=-du. A integral fica em u:
integral sin^5 x,cos^4 x,dx = -integral u^4l(1-u^2r)^2,du

Passo 4

Expandimos o polinômio em u para integrar termo a termo:
-integral u^4(1-2u^2+u^4),du = -integral l(u^4 - 2u^6 + u^8r)du = -l(u^55 - 2u^77 + u^99r) + C

Passo 5

Voltando para x com u=cos x, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

-cos^5 x5 + 2cos^7 x7 - cos^9 x9 + C

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