A Integral de Convolução atua como uma espécie de produto generalizado f * g entre duas funções f(t) e g(t) e é definida por
(f * g)(t)=integral0^t f(t-tau) g(tau) d tau
Neste sentido, mostre que esta integral satisfaz as seguintes propriedades esperadas para um produto:
f * g=g * f (comutativa)

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar que a integral de convolução é comutativa, ou seja, que para duas funções f(t) e g(t) vale ((f * g)(t) = (g * f)(t). Para isso, vamos usar a definição de convolução e uma mudança de variável em integrais.

Passo 2

A definição de convolução entre f e g é dada por:
(f * g)(t) = integral0^t f(t-tau),g(tau),dtau

Passo 3

Para provar comutatividade, fazemos a mudança de variável u = t - tau. Logo, quando tau = 0 temos u = t e quando tau = t temos u = 0. Além disso, dtau = -du. Substituindo na integral e invertendo os limites para eliminar o sinal negativo, obtemos:
integral0^t f(t-tau),g(tau),dtau = integralt^0 f(u),g(t-u),(-du) = integral0^t f(u),g(t-u),du

Passo 4

Como o produto de funções é comutativo, temos f(u),g(t-u) = g(t-u),f(u). Renomeando a variável de integração u para tau, fica:
integral0^t g(t-tau),f(tau),dtau = (g * f)(t)

Passo 5

Assim chegamos à igualdade (f * g)(t) = (g * f)(t), mostrando a propriedade comutativa da convolução.

Resposta

(f * g)(t) = (g * f)(t)

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