A Integral de Convolução atua como uma espécie de produto generalizado
entre duas funções
e
e é definida por
Neste sentido, mostre que esta integral satisfaz as seguintes propriedades esperadas para um produto:
(comutativa)
Passo 1
Neste exercício vamos mostrar que a integral de convolução é comutativa, ou seja, que para duas funções
e
vale ((f * g)(t) = (g * f)(t). Para isso, vamos usar a definição de convolução e uma mudança de variável em integrais.
Passo 2
A definição de convolução entre
e
é dada por:
Passo 3
Para provar comutatividade, fazemos a mudança de variável
. Logo, quando
temos
e quando
temos
. Além disso,
. Substituindo na integral e invertendo os limites para eliminar o sinal negativo, obtemos:
Passo 4
Como o produto de funções é comutativo, temos
. Renomeando a variável de integração
para
, fica:
Passo 5
Assim chegamos à igualdade
, mostrando a propriedade comutativa da convolução.
Resposta
(f * g)(t) = (g * f)(t)