Use a transformada de Laplace para resolver cada um dos Problemas de Valor Inicial dados abaixo:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 5y' + 6y = 0, y(0)=1, y'(0)=2
usando a transformada de Laplace. A matéria envolve as propriedades da transformada de Laplace de derivadas, resolução de equação algébrica em Y(s), uso de frações parciais e aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0),
e Ly=Y(s). Então fazemos
Ly'' , -5,Ly' , +6,Ly = 0

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2, temos
(s^2Y(s) - s - 2) - 5(sY(s) - 1) + 6Y(s) = 0
Agora agrupamos os termos em Y(s) e os constantes:

Passo 4

Reorganizando os termos, obtemos
Y(s)(s^2 - 5s + 6) + (-s - 2 + 5) = 0
ou seja
Y(s)(s^2 - 5s + 6) = s - 3
Logo
Y(s) = s - 3(s - 2)(s - 3)

Passo 5

Para invertermos a transformada, fazemos frações parciais:
s - 3(s - 2)(s - 3) = As - 2 + Bs - 3
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes ou usando valores especiais de s, encontramos A = 1 e B = 0. Assim
Y(s) = 1s - 2

Passo 6

Por fim, aplicamos a transformada inversa, sabendo que
L^-1gl1s - agr = e^at
Então
y(t) = e^2t

Resposta

y(t) = e^{2t}

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