Use a transformada de Laplace para resolver cada um dos Problemas de Valor Inicial dados abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace. A matéria envolve as propriedades da transformada de Laplace de derivadas, resolução de equação algébrica em
, uso de frações parciais e aplicação da transformada inversa.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
e
. Então fazemos
Passo 3
Substituindo as condições iniciais
e
, temos
Agora agrupamos os termos em
e os constantes:
Passo 4
Reorganizando os termos, obtemos
ou seja
Logo
Passo 5
Para invertermos a transformada, fazemos frações parciais:
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes ou usando valores especiais de
, encontramos
e
. Assim
Passo 6
Por fim, aplicamos a transformada inversa, sabendo que
Então
Resposta
y(t) = e^{2t}