Use a transformada de Laplace para resolver cada um dos Problemas de Valor Inicial dados abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com as condições iniciais
e
usando transformada de Laplace. O conteúdo é transformadas de Laplace de derivadas, resolução algébrica em
e frações parciais para inverter para
.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação: usamos as fórmulas
Substituindo na EDO transformada:
Reunindo os termos em
:
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais: temos
Multiplicando em comum denominador e igualando coeficientes, achamos
Logo
$$
Y(s)=\frac{1/3}{s-2}+\frac{2/3}{s+1}.$$
Passo 4
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando
Isso dá
$$
y(t)=\frac{1}{3}e{2t}+\frac{2}{3}e{-t}.$$
Resposta
y(t)=\frac{1}{3}e{2t}+\frac{2}{3}e{-t}