Use a transformada de Laplace para resolver cada um dos Problemas de Valor Inicial dados abaixo:
y^prime prime-y^prime-2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - y' - 2y = 0 com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 usando transformada de Laplace. O conteúdo é transformadas de Laplace de derivadas, resolução algébrica em s e frações parciais para inverter para t.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação: usamos as fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly=Y(s)
Substituindo na EDO transformada:
s^2Y(s)-scdot1-0;-l(sY(s)-1r);-2Y(s)=0
Reunindo os termos em Y(s):
(s^2 - s -2)Y(s)-s+1=0Longrightarrow Y(s)=s-1s^2 - s - 2

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais: temos
s-1(s-2)(s+1)=As-2+Bs+1
Multiplicando em comum denominador e igualando coeficientes, achamos
A=13, B=23
Logo
$$
Y(s)=\frac{1/3}{s-2}+\frac{2/3}{s+1}.$$

Passo 4

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando
L^-1l1s-ar=e^at
Isso dá
$$
y(t)=\frac{1}{3}e{2t}+\frac{2}{3}e{-t}.$$

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}e{2t}+\frac{2}{3}e{-t}

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