(a) integral0^1(2 x+1)^4 d x
(b) integral0^8 x raiz1+x d x
© integral0^pi2 4 sen x2 d x
(d) integral-3 pi4^pi4 sen x cos x d x
(e) integral0^1 d xraiz3 x+1 d x
(f) integral0^1 y^2raiz4-3 y d y
(g) integral0^e d xx+e

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular sete integrais definidas usando principalmente a técnica de substituição e algumas identidades trigonométricas. Precisamos reconhecer padrões no integrando, escolher substituições adequadas para encontrar a antiderivada e depois avaliar nos limites fornecidos.

Passo 2

Para (a)
Fazendo a substituição u=2x+1, temos du=2,dx e quando x=0 vem u=1, quando x=1 vem u=3.
integral0^1(2x+1)^4dx =12integral1^3u^4du =12[u^55]1^3 =1215

Passo 3

Para (b)
Fazendo u=1+x, então x=u-1 e dx=du. Os limites vão de u(0)=1 até u(8)=9.
integral0^8xraiz1+x,dx =integral1^9(u-1)u^1/2du =integral1^9(u^3/2-u^1/2)du =[25u^5/2-23u^3/2]1^9 =119215

Passo 4

Para ©
Fazendo u=tfracx2, logo dx=2,du e os limites vão de u(0)=0 até u(tfracpi2)=tfracpi4.
integral0^pi/24sinx2,dx =8integral0^pi/4sin u,du =8[-cos u]0^pi/4 =8l(1-tfracraiz22r) =8-4raiz2

Passo 5

Para (d)
Usando a identidade sin xcos x=tfrac12sin2x:
integral-3pi/4^pi/4sin xcos x,dx =12integral-3pi/4^pi/4sin2x,dx =-14[cos2x]-3pi/4^pi/4 =0

Passo 6

Para (e)
Fazendo u=3x+1, então du=3,dx e os limites vão de u(0)=1 até u(1)=4.
integral0^1dxraiz3x+1 =13integral1^4u^-1/2du =13[2u^1/2]1^4 =23

Passo 7

Para (f)
Fazendo u=4-3y, então dy=-tfrac13du, y=(4-u)/3 e os limites vão de u(0)=4 até u(1)=1. Invertendo os limites e extraindo o sinal:
integral0^1y^2raiz4-3ydy =127integral1^4(4-u)^2u^-1/2du =106405

Passo 8

Para (g)
Fazendo u=x+e, então du=dx e os limites vão de u(0)=e até u(e)=2e.
integral0^edxx+e =integrale^2eduu =[ln u]e^2e =ln2

Resposta

(a) 1215, (b) 119215, © 8-4raiz2, (d) 0, (e) 23, (f) 106405, (g) ln2.

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